2019-2020学年高中数学 第一章 数列 2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项

第一章数列2．2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1．数列的前n项和(1)一般地，我们称为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)an与Sn的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.a1＋a2＋…＋an2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝____________Sn＝______________n（a1＋an）2na1＋n（n－1）2d判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n项和是关于n的二次函数．()(2)在公式Sn＝n（a1＋an）2中反映的是“首项、末项、项数”与Sn的关系．()(3)公式Sn＝na1＋12n(n－1)d反映了“首项、项数、公差”与Sn的关系．()(4)若数列{an}中，a1＝1，an＝2n－1，则其前n项和Sn＝[1＋（2n－1）]n2＝n2.()×√√√在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝()A．230B．420C．450D．540解析：选B.S20＝20a1＋20×192d＝20a1＋190d＝20×2＋190×2＝420.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋3×22d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．20分钟解析：选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为an，则a1＝2，公差d＝2，an＝2n，Sn＝2＋2n2·n＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去)，故选C.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＝6，2a1＋6d＝0，解得a1＝6，d＝－2，所以S6＝6a1＋12×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.答案：61．等差数列{an}的前n项和公式与二次函数的关系(1)将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）d2整理成关于n的函数可得Sn＝d2n2＋a1－d2n.(2)等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数．(3)关于n的二次函数也不一定是某等差数列的前n项和．由Sn＝An2＋Bn＋C，当C≠0时，Sn一定不是某等差数列的前n项和；当C＝0时，令d2＝A，a1－d2＝B，则一定能解出a1和d，因此这时Sn一定是某等差数列的前n项和．2．等差数列前n项和的有关性质(1)等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)且S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an＋1an.若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)且S奇－S偶＝an，S偶S奇＝n－1n.等差数列前n项和的有关计算在等差数列{an}中，(1)已知a3＝16，S20＝20.求S10；(2)已知a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及a12；(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则有a1＋2d＝16，20a1＋20（20－1）2d＝20，解得a1＝20，d＝－2.所以S10＝10×20＋10×9×（－2）2＝200－90＝110.(2)因为Sn＝n·32＋n（n－1）2·－12＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.又因为Sn＝（a1＋an）n2＝210，所以n＝2×210a1＋an＝14.等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．1.(1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172，则a8＝________，d＝________．(2)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，前n项和Sn＝35，求a1和n.解：(1)由已知，得S8＝8（a1＋a8）2＝8（4＋a8）2＝172，解得a8＝39，又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.故填39和5.(2)由an＝a1＋（n－1）d，Sn＝na1＋n（n－1）2d，得a1＋2（n－1）＝11，na1＋n（n－1）2×2＝35，解方程组，得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.与等差数列前n项和有关的实际问题有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每隔50m放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务(最后返回原处)，这辆汽车的行程共有多少？【解】法一：如图，假定30根水泥电线杆存放在M处，a1＝|MA1|＝1000m，a2＝|MA2|＝1050m，a3＝|MA3|＝1100m，…a30＝(a3＋150×9)m.由于一辆汽车每次只能运3根，故每运一次只能到A3，A6，A9，…，A30这些地方，这样组成公差为150，首项为1100的等差数列，令汽车行程为s，则有s＝2(a3＋a6＋…＋a30)＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9)＝210a3＋150×9×102＝2×(11000＋6750)＝35500(m)．即这辆汽车的行程共有35500m.法二：根据题意，知汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中a1＝(1000＋50×2)×2＝2200，a2＝(1000＋50×5)×2＝2500，….公差d＝150×2＝300，项数为10，所以Sn＝10a1＋10×（10－1）2d＝10×2200＋5×9×300＝35500，即这辆汽车的行程共有35500m.此类问题主要应用转化思想，把实际问题抽象转化为等差数列求和问题．对于实际问题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后利用等差数列的前n项和公式求解，最后再回到实际问题作出结论．2.(1)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m，则甲、乙开始运动后____________分钟相遇．(2)为了参加5000m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m，李强10天一共跑了多少m?解：(1)设n分钟后相遇，依题意，有2n＋n（n－1）2＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．故填7.(2)将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5000m，公差d＝400m.所以S10＝10a1＋10×（10－1）2d，＝10×5000＋45×400＝68000(m)，故李强10天一共跑了68000m.等差数列前n项和性质的应用(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________．【解析】(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.(2)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.【答案】(1)C(2)53等差数列前n项和的常用性质(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．(2)数列Snn是等差数列，公差为数列{an}的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式ambn＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1进行转化，再利用其他知识解决问题．3.(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()A．9B．12C．16D．17(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．解析：(1)由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列Snn的前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：(1)A(2)75思想方法等差数列前n项和公式的灵活运用在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.【解】法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则10a1＋10（10－1）2d＝100，100a1＋100（100－1）2d＝10.解得a1＝1099100，d＝－1150.故S110＝110a1＋110（110－1）2d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝－110.法二：(设而不求整体代换法)因为S10＝100，S100＝10，所以S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a11＋a100）2＝－90.故a11＋a100＝－2.又因为a1＋a110＝a11＋a100＝－2，所以S110＝110（a1＋a110）2＝－110.法三：(新数列法)因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，所以设该数列公差为d，则其前10项和为10×100＋10×92·d＝10，解得d＝－22.故其前11项和为11×100＋10×112d＝11×100＋10×112×(－22)＝－110.法四：(运用函数观点解决问题)由于f(n)＝Snn是关于n的一次函数，而点10，10010，100，10100，110，S110110在其图像上，由斜率相等，得S110110－10010110－10＝10100－10010100－10⇒S110＝－110.法五：(待定系数法)设数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，则S10＝A×102＋B×10＝100，①S100＝A×1002＋B×100＝10，②解得A＝－11100，B＝11110.故S110＝A×1102＋B×110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.法一是运用基本量方法；法二则利用了基本计算中常用的整体代换方法；法三是利用等差数列前n项和的性质构造新数列；法四的巧妙之处在于把握住了数列的函数本质；法五利用Sn是关于n的二次函数Sn＝An2＋Bn.根据已知条件确定待定系数A，B后，便可