2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数章末归纳整合课件 新人教A版必修4

章末归纳整合在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象．数形结合思想【例1】(2015年山东德州校级月考)已知A(－2，m)是角α终边上的一点且sinα＝－55，求cosα的值．【分析】通过A(－2，m)是角α终边上的一点，求出OA，利用sinα＝－55，求出m，利用三角函数的定义求cosα的值．【解析】∵r＝4＋m2，∴sinα＝mr＝mm2＋4＝－55.∴m＝－1，r＝5，∴cosα＝xr＝－25＝－255.【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数求值，考查计算能力．已知两个集合M＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcosθ≤12，0≤θ≤π.求M∩N.【解析】方法一：作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y＝12，如图．结合图象得集合M，N分别为M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.∴M∩N＝θπ3≤θ≤5π6.方法二：作出单位圆的正弦线和余弦线由单位圆三角函数线知M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π}.得M∩N＝{θ|π3≤θ≤5π6.在解决三角函数的相关问题时，常用到转化与化归思想．如用诱导公式化简求值时，常常要化繁为简、化异为同、化切为弦；求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的单调区间、对称中心、对称轴等时，常把ωx＋φ看作一个整体，转化为研究函数y＝sinx的单调区间、对称中心、对称轴等即可．这些都体现了转化与化归思想．转化与化归思想【例2】(2019年北京海淀区模拟)如图，函数f(x)＝Asin2x＋π4的图象经过点(0,1)．(1)求A和x0的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意得f(0)＝Asinπ4＝1，解得A＝2.由图象得x＝x0时，f(x)取得最大值，则2x0＋π4＝π2，解得x0＝π8.(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4.令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.【点评】此题考查了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，对比函数y＝sinx的图象与性质解答即可．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的一段图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)图象的对称轴；(3)若关于x的方程f(x)－log2m－1＝0(m为实常数)在x∈π4，17π24上恒有实数解，求m的取值范围．【解析】(1)由图象可得A＝3，T＝2πω＝5π6＋π6＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝3cos(2x＋φ)．由图象过点π3，0，结合五点作图法，可得2×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，结合|φ|π2，解得φ＝－π6.∴f(x)＝3cos2x－π6.(2)令2x－π6＝kπ，得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，∴函数f(x)图象的对称轴为x＝kπ2＋π12(k∈Z)．(3)x∈π4，17π24时，π3≤2x－π6≤5π4，∴cos2x－π6∈－1，12.∴f(x)＝3cos2x－π6∈－3，32.∵关于x的方程f(x)－log2m－1＝0(m为实常数)在x∈π4，17π24上恒有实数解，∴log2m＋1∈－3，32，则－4≤log2m≤12，解得116≤m≤2.∴m的取值范围是116，2.化简sin3π＋αcos－αcosπ－αtan3π＋αcos3－α－π＋cosα＋3πsin2α＋3πcos23π2＋αtanα＋5πtanπ＋αcos3π＋α.【解析】原式＝－sin3αcosα－cosαtan3α－cosα3＋－cosαsin2αsin2αtanαtanα－cosα3＝－sin3αcos2αsin3αcos3αcos3α＋cosαsin4αsin2αcos2α·cos3α＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1.分类讨论思想由于三角函数的值及性质受角所在象限的影响，因此在解决某些问题时，就需要对角在不同象限的情况进行分类讨论．【例3】已知cosα－5π2＝－35，求：(1)tanα的值；(2)sinα－cosαsinα＋cosα的值．【解析】(1)cosα－5π2＝cos5π2－α＝cosπ2－α＝sinα＝－35＜0，∴α为第三象限或第四象限角．①当角α是第三象限的角时，cosα＝－1－sin2α＝－1－－352＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－35－45＝34；②当角α是第四象限的角时，cosα＝45，从而tanα＝－34.综上所述，当角α是第三象限的角时，tanα＝34；当角α是第四象限的角时，tanα＝－34；(2)∵sinα－cosαsinα＋cosα＝tanα－1tanα＋1，∴由(1)的结果可得，当tanα＝34时，tanα－1tanα＋1＝34－134＋1＝－17；当tanα＝－34时，tanα－1tanα＋1＝－34－1－34＋1＝－7.则当角α是第三象限的角时，sinα－cosαsinα＋cosα＝－17；当角α是第四象限的角时，sinα－cosαsinα＋cosα＝－7.【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，当角的范围不确定时，切记要进行分类讨论，此类问题的解决需要熟练掌握基本关系．已知tanα＝－3，求sinα，cosα的值．【解析】∵tanα＝sinαcosα＝－3，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝±1010.当cosα＝1010时，sinα＝－31010；当cosα＝－1010时，sinα＝31010.以三角函数的定义为载体，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式．y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质一直是高考考查的热点内容，常见的命题角度有：①三角函数的图象及其变换，常与向量平移结合在一起考查；②求三角函数的解析式，利用条件确定y＝Asin(ωx＋φ)中的A，ω，φ三个量；③三角函数图象与性质的综合应用，三角函数的周期性、单调性、最值、对称性、奇偶性等．1．(2018年北京)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是()A．AB︵B．CD︵C．EF︵D．GH︵【答案】C【解析】结合三角函数线可得，在AB段，sinα＜cosα，sinαtanα；在CD段，cosα＜sinα＜tanα；在EF段，tanα＜cosα＜sinα；在GH段，cosα＜sinα＜tanα.故选C．2．(2018年天津)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间－π4，π4上单调递增B．在区间－π4，0上单调递减C．在区间π4，π2上单调递增D．在区间π2，π上单调递减【答案】A【解析】将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x.当x∈－π4，π4时，2x∈－π2，π2，函数单调递增；当x∈π4，3π4时，2x∈π2，3π2，函数单调递减．故选A．3．(2018年新课标Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．【答案】3【解析】令f(x)＝cos3x＋π6＝0，得3x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π9＋kπ3(k∈Z)．x∈[0，π]，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9.∴f(x)的零点的个数为3.4．(2018年江苏)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2＜φ＜π2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．【答案】－π6【解析】∵y＝sin(2x＋φ)－π2＜φ＜π2的图象关于直线x＝π3对称，∴2×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π6，k∈Z.∵－π2＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ＝－π6.5．(2018年北京)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω＞0)，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．【答案】23【解析】由题意得，x＝π4时，f(x)取得最大值，则ω·π4－π6＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋23，k∈Z.又ω＞0，故ω的最小值为23.