2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 章末复习提升课 第2课时 三角函数的图象与性质课件

第2课时三角函数的图象与性质第一章三角函数设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．三角函数的图象【解】(1)周期T＝2πω＝π，所以ω＝2.因为fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(2)因为f(x)＝cos2x－π3，列表如下：2x－π3－π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππf(x)1210－1012图象如图：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表；由ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值．x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx＋φ0π2π32π2πy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析：选A.令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A0，ω0，|φ|π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是()A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6B．A＝3，T＝4π3，φ＝－3π4C．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6D．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A＋2＝3，则A＝1，函数的周期T＝2×5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y＝sin32x＋φ＋2，则当x＝5π6时，y＝sin5π6×32＋φ＋2＝3，即sin5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2kπ，则φ＝－3π4＋2kπ，因为|φ|π，所以当k＝0时，φ＝－3π4，故A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4.(2019·合肥市第一次教学质量检测)将函数y＝2cosx＋π4的图象先向右平移φ(φ0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝2cos2x－π4的图象，则φ，a的可能取值为()A．φ＝π2，a＝2B．φ＝3π8，a＝2C．φ＝3π8，a＝12D．φ＝π2，a＝12三角函数的图象变换【解】y＝2cosx＋π4的图象向右平移φ的单位长度得到y＝2cosx－φ＋π4的图象，该图象上每个点的横坐标变为原来的a倍得到y＝2cos1ax－φ＋π4的图象，所以y＝2cos2x－π4＝2cos1ax－φ＋π4，则a＝12，φ＝π2＋2kπ(k∈Z)．又φ0，所以结合选项知选D.【答案】D函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的两种方法1．要得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π6个单位D．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos2x＋π3＝cos2x＋π6，所以只需把函数y＝cos2x的图象向左平移π6个单位即可得到y＝cos2x＋π3的图象，故选B.2．将函数f(x)＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴为()A．x＝π12B．x＝π6C．x＝－π12D．x＝－π6解：选C.将f(x)＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可以得到y＝sin2x的图象，再向右平移π6个单位得g(x)＝sin2x－π6＝sin2x－π3的图象．由g－π12＝sin－π2＝－1知，x＝－π12是g(x)图象的一条对称轴，故选C.已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值和最小值．三角函数的性质【解】(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)因为x∈π4，3π4，所以3π4≤2x＋π4≤7π4，所以－1≤sin2x＋π4≤22，所以－2≤f(x)≤1，所以当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋B的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法①利用sinx，cosx的有界性．②从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析：选A.因为函数的周期为π，所以排除C，D.因为函数在π4，π2上是减函数，所以排除B，故选A.2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数f(x)＝sin2x－3π2(x∈R)，下列说法错误的是()A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于点π4，0中心对称D．函数f(x)在0，π2上是增函数解析：选D.因为f(x)＝sin2x－3π2＝－sin3π2－2x＝cos2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝2πω＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，当k＝0时，x＝π4，所以函数f(x)的图象关于点π4，0中心对称，故C正确；当x∈0，π2时，2x∈[0，π]，所以函数f(x)在0，π2上是减函数，故D不正确．故选D.