2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第6节 三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修

探究点一三角函数在物理的中应用[典例精析]1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6.(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？[解](1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t＝0时，s＝6sinπ6＝3，所以此时离开平衡位置3cm.(3)离开平衡位置6cm.(4)因为T＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.[类题通法]三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[针对训练]1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t＝0时，E＝1103(V)，即开始时的电压为1103V.(2)T＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为2203V，当100πt＋π6＝π2，即t＝1300s时第一次取得最大值．探究点二三角函数在实际问题中的应用[典例精析]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0，|φ|π，x∈0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？[解](1)由题意知A＋b＝14，－A＋b＝－2，解得A＝8，b＝6，易知T2＝14－2，所以T＝24，所以ω＝π12，易知8sinπ12×2＋φ＋6＝－2，即sinπ12×2＋φ＝－1，故π12×2＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|π，得φ＝－2π3，所以y＝8sinπ12x－2π3＋6(x∈[0,24))．(2)当x＝9时，y＝8sinπ12×9－2π3＋6＝8sinπ12＋68sinπ6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．[类题通法]解三角函数应用问题的基本步骤[针对训练]2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.+(1)求h与θ间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故B点坐标为4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π2.∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故ts转过的弧度数为πt30.∴h＝5.6＋4.8sinπ30t－π2，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sinπ30t－π2＝1，得π30t－π2＝π2＋2kπ，k∈N，∴tmin＝30(s)．即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．探究点三建立三角函数模型解决实际问题[典例精析]3．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据．t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？[解](1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝Acosωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪爱好者开放，∴12cosπ6t＋11.∴cosπ6t0.∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3t12k＋3(k∈Z)．①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.[类题通法]在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．[针对训练]3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－π2，故y＝4sin5π2t－π2，即y＝－4cos5π2t.答案：y＝－4cos5π2t[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤(1)审清题意读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．(2)建立函数模型整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．(3)解答函数模型利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．(4)得出结论将所得结果翻译成实际问题的答案．3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用(1)三角函数在物理中的应用，见探究点一；(2)三角函数在实际问题中的应用，见探究点二；(3)建立三角函数模型解决实际问题，见探究点三.