2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第3节 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、

第1课时诱导公式二、三、四一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．二、归纳总结•核心必记1.特殊角的终边对称性(1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图①；(2)－α的终边与角α的终边关于对称，如图②；(3)π－α的终边与角α的终边关于对称，如图③.原点x轴y轴2.诱导公式公式一sin(α＋2kπ)＝sinαcos(α＋2kπ)＝cosαtan(α＋2kπ)＝公式二sin(π＋α)＝cos(π＋α)＝tan(π＋α)＝公式三sin(－α)＝cos(－α)＝tan(－α)＝公式四sin(π－α)＝cos(π－α)＝tan(π－α)＝tan_α－sin_α－cos_αtan_α－sin_αcos_α－tan_αsin_α－cos_α－tan_α3.公式一～四的应用记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．三、综合迁移·深化思维(1)诱导公式一、二、三、四中的角α有什么限制条件？提示：sin(α＋2kπ)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋2kπ)，cos(π±α)，cos(－α)公式中的α∈R；而tan(α＋2kπ)，tan(π±α)，tan(－α)中的α≠π2＋kπ，k∈Z．(2)在△ABC中，你认为sinA与sin(B＋C)，cosA与cos(B＋C)之间有什么关系？提示：∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A，故sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．探究点一给角求值问题[典例精析]1．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.[类题通法]利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[针对训练]1．求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值．解：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°sin30°－tan45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44.探究点二化简求值问题[典例精析]2．(1)化简：cos（－α）tan（7π＋α）sin（π－α）＝________；(2)化简sin（1440°＋α）·cos（α－1080°）cos（－180°－α）·sin（－α－180°）＝________．[解](1)cos（－α）tan（7π＋α）sin（π－α）＝cosαtan（π＋α）sinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.(2)原式＝sin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝sinα·cos（－α）（－cosα）·sinα＝cosα－cosα＝－1.答案：(1)1(2)－1[类题通法]利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[针对训练]2．化简：sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）(k∈Z)．解：当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝sin[（2n＋2）π＋θ]·cos[（2n＋2）π－θ]sin（2nπ＋π－θ）·cos（2nπ＋π＋θ）＝sinθ·cosθsin（π－θ）·cos（π＋θ）＝sinθ·cosθsinθ·（－cosθ）＝－1；当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝sin[（2n＋1）π＋θ]·cos[（2n＋1）π－θ]sin（2nπ－θ）·cos（2nπ＋θ）＝sin（π＋θ）·cos（π－θ）sin（－θ）·cosθ＝－sinθ·（－cosθ）－sinθ·cosθ＝－1.综上，sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）＝－1.探究点三给值（式）求值问题[典例精析](1)已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为()A．1B．－1C.13D．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．[解](1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13＜0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos2（α－55°）＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.答案：(1)D(2)223[类题通法]解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．[针对训练]3．若sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则tan(π－α)等于()A．－12B．－32C．－3D.33答案：D解析：因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈－π2，0，所以cosα＝1－sin2α＝32.所以tanα＝sinαcosα＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tanα＝33.4.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A.43B.34C．－43D．－34答案：D解析：因为sinα＝35且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(π＋α)＝tanα＝－34.故选D.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见探究点一；(2)解决化简求值问题，见探究点二；(3)解决给值(式)求值问题，见探究点三.3．本节课要牢记诱导公式的内容(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f(π＋α)＝±f(α)，f(－α)＝±f(α)，f(π－α)＝±f(α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sinα，就是正弦函数名不改变，而α是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式，不必限定α为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限”时，都把α看作锐角记忆，即便α不是锐角，上述公式也全部成立．