2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第1节 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制课件 新

1．1.2弧度制一、预习教材•问题导入根据以下提纲，预习教材P6～P9的内容，回答下列问题．(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？提示：1度的角等于周角的1360.(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)阅读教材P6“探究”的内容，思考：①如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是多少？提示：|α|＝lr.②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？提示：π＝180°.二、归纳总结•核心必记1.度量角的两种制度定义用作为单位来度量角的单位制角度制1度的角周角的为1度角，记作1°定义以为单位来度量角的单位制弧度制1弧度的角长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1度1360弧度半径长rad2.弧度数的计算3.角度制与弧度制的换算4.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π05.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝l＝扇形的面积S＝S＝＝παR180αRπαR236012lR12αR2三、综合迁移•深化思维(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．(2)比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：无关．(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？提示：不能省略．(4)你认为式子“α＝k·360°＋π3，k∈Z”正确吗？提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．[典例精析]1．有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．其中正确的说法是________．探究点一弧度的概念[解析]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1rad＝180π°≈57.30°≠1°，故②不正确．答案：①③④(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．(2)角度制和弧度制的比较：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．[类题通法]②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．[针对训练]1．下列说法正确的是()A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D．－120°的弧度数是2π3答案：B[典例精析]已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．探究点二角度与弧度的换算[解](1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，则由－720°≤θ＜0°，得－720°≤k·360°＋108°＜0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°；β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，则由－720°≤k·360°－60°＜0(k∈Z)，得k＝－1或k＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.[类题通法]角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π°＝度数．[针对训练]2．将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.[典例精析](1)已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2.(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？探究点三扇形的弧长公式和面积公式的应用[解](1)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝12lr＝12×4×2＝4cm2.(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12lR＝(π－1)R2.答案：(1)4[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．[针对训练]3．已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0α2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，从而S＝12lr＝12(30－2r)r＝－r2＋15r＝－r－1522＋225415π＋1r15，所以，当r＝152cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm2.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180rad；(3)1rad＝180π°.3．本节课要重点掌握以下规律方法(1)弧度制的概念辨析，见探究点一；(2)角度与弧度的换算，见探究点二；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见探究点三.4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．