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1.1.1任意角一、预习教材•问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．二、归纳总结•核心必记1.角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图示其中O为，OA为，OB为.记法角α或∠α，或简记为α一条射线端点图形顶点始边终边2.角的分类（1）（2）按角的终边位置①角的终边在第几象限，则此角称为第几；②角的终边在上，则此角不属于任何一个象限．3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．象限角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}坐标轴整数个周角三、综合迁移·深化思维(1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．探究点一任意角的概念[典例精析]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[答案]②[类题通法]理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120°B．－120°C．－60°D．60°解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.答案：B（1）终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．探究点二终边相同的角及区域角的表示[思考探究]（2）区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．[典例精析]1．(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1910°＋k·360°＜360°，31136≤k＜61136.故k＝4，5，6，k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°.k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°.k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[类题通法](1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．[针对训练]2．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解：1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.3．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}．[思考探究]（1）若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．（2）如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．探究点三角限角的判断[典例精析]2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．4．已知α是第四象限角，则270°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：选D解析：由题意知－90°＋360°·k＜α＜360°·k(k∈Z)，则－360°·k＜－α＜－360°·k＋90°(k∈Z)，270°－360°·k＜270°－α＜360°－360°·k(k∈Z)，显然270°－α是第四象限角．[针对训练][典例精析]若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？[解](1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°2α360°＋k·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．探究点四nα或αn所在象限的判定(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°α290°＋k·180°(k∈Z)．法一：①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°α290°＋n·360°(n∈Z)，即α2是第一象限角；②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°α2270°＋n·360°(n∈Z)，即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，∴45°＋k·180°α290°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．[类题通法]1.nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．2.αn所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：（1）用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．（2）作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[针对训练]5．在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2020°；(4)－120°.解：