2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 9 三角函数的简单应用课件 北师大版必修4

1．钟摆、潮汐等具有周期现象，能不能用三角函数模型来解决？2．在数学建模过程中，描绘散点图的作用是什么？§9三角函数的简单应用一、预习教材·问题导入解三角函数应用问题的基本步骤二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是50()(2)某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为70()××三、基本技能·素养培优2．如果单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s＝6sin2πt＋π6，那么单摆来回摆一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析：选D单摆来回摆动一次即完成了一个周期运动，而周期T＝2π2π＝1，所以来回摆动一次所需的时间为1s.3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零解析：选D该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8s，故A是错误的；该质点的振幅为5cm，故B是错误的；该质点在0.1s和0.5s时的振动速度是零，所以C是错误的．4．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200时，电流为________A.答案：52[典例]单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6.(1)作出函数的图像；(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？考点一三角函数模型在物理中的应用[解](1)利用“五点法”可作出其图像．(2)因为当t＝0时，s＝6sinπ6＝3，所以此时离开平衡位置3cm.(3)离开平衡位置6cm.(4)因为T＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.[类题通法]三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[针对训练]电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω0，|φ|π2.(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像如图所示，试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个1100s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图，可知A＝300.∵T＝160－－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．将－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝π3＋2kπ，k∈Z.∵|φ|π2，∴φ＝π3，∴I＝300sin100πt＋π3.(2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.[典例]青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5考点二三角函数模型在实际生活中的应用经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图像．(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式．(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？[解](1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为12，y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，12cosπ6t＋1＞1，cosπ6t＞0，所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，k∈Z.即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①因为0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2.得0≤t＜3,9＜t＜15,21＜t≤24.所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.[类题通法]求解三角函数模型在实际生活中的应用步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为23m，圆环的圆心距离地面的高度为1m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．(1)试确定在时刻t(单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位：m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过23m?解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设ts时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为2π60t＝π30t，于是点P的纵坐标y＝23sin(π30t－π2)＝－23cosπ30t.∴h＝1＋y＝1－23cosπ30t(t≥0)．(2)由1－23cosπ30t23得cosπ30t12，又由0≤t≤60，得0≤π30t≤2π，∴π3π30t5π3，解得10t50.所以一圈内有40s的时间蚂蚁距离地面超过23m.