2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 8 第一课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像课

1．函数y＝Asinx，x∈R(A＞0且A≠1)的图像，可由正弦曲线y＝sinx，x∈R怎样变换得到？2．将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图像怎样变换，能得到y＝sinx的图像？3.函数y＝sinωx,x∈R（ω＞0且ω≠1）的图像，可由正弦曲线y=sinx,x∈R怎样变换得到？§8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质第一课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像一、预习教材·问题导入1．振幅变换(1)在函数y＝Asinx(A0)中，A决定了函数的以及函数的最大值和最小值，通常称A为．(2)对于函数y＝Asinx(A0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的．[点睛]对于函数y＝sin(ωx＋φ)与y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变周期及相位．值域振幅A二、归纳总结·核心必记2．相位变换(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的，通常称φ为，x＋φ为．(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有的点(当φ0时)或(当φ0时)平行移动个单位长度得到的．[点睛]进行平移变换时要注意仅是图像上的点的横坐标发生变化，纵坐标不变．函数值初相相位向左向右|φ|3．周期变换(1)在函数y＝sinωx(ω0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝1T＝ω2π为．(2)对于函数y＝sinωx(ω0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．[点睛]对于函数y＝sin(x＋φ)与y＝sin(ωx＋φ)之间的图像变换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时，y＝sin(ωx＋φ)的周期为T＝2πω，其振幅不变．频率2πω1ω1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由函数y＝sinx＋π3的图像得到y＝sinx的图像，必须向左平移()(2)把函数y＝sinx的图像上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图像()(3)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()×××三、基本技能·素养培优2．已知f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图像经过点(0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：选AT＝2ππ3＝6，将点(0,1)代入得sinφ＝12，又|φ|π2，∴φ＝π6.3．将函数y＝sin2x的图像向左平移π4个单位长度再向上平移1个单位长度，所得图像的函数解析式是()A．y＝cos2xB．y＝2cos2xC．y＝1＋sin2x＋π4D．y＝1＋cos2x解析：选D将函数y＝sin2x的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y＝sin2x＋π4，即y＝sin2x＋π2＝cos2x的图像，再向上平移1个单位长度，所得图像的函数解析式为y＝1＋cos2x.4．将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，(纵坐标不变)得________的图像．答案：y＝sin4x[典例]用“五点法”作出函数y＝2sinx2＋π3在一个周期内的图像．考点一用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像[解]用“五点法”作图．列表：x－2π3π34π37π310π3x2＋π30π2π3π22πy020－20描点作图，如下图：[类题通法]“五点法”作图列表的方法作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期a，a＋2πω上的图像．(1)计算相位，将x＝a，x＝a＋2πω代入ωx＋φ，计算出相位的区间[M，N]，再从区间[M，N]内确定“五点”的横坐标一般取0，π2，π，3π2，2π，令ωx＋φ等于上述的横坐标求出x；(2)确定函数值：利用ωx＋φ的取值求出相应的函数值y；列出表格后描点(x，y)，连线得到函数的图像．[针对训练]用“五点法”作出函数y＝2sin2x＋π4在[0，π]上的图像．解：列出x，y的对应值表：x－π8π83π85π87π82x＋π40π2π3π22πy020－20描点，连线，如图所示．[典例]说明y＝2sin2x＋π3的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．[解]把y＝sinx的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图像，再把y＝sinx＋π3的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图像，最后把y＝sin2x＋π3的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图像．考点二三角函数的图像变换[类题通法]三角函数图像变换的策略(1)已知变换前后的解析式求变换方式时，较简洁的作法是：若ω＝1，则可以先进行左右平移变换，再进行其他的变换；若ω≠1，则先进行左右伸缩变换，再进行其他的变换．(2)对于函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像平移规律与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移规律相同．(3)确定平移方向、单位时要先提取ω，即ωx＋φ＝ωx＋φω后观察x的变化，确定平移方向及单位．(4)注意由哪一个函数向哪一个函数平移，平移的函数顺序不能出错．[针对训练]1．把函数y＝f(x)的图像向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sinx的图像，则y＝f(x)的解析式为()A．y＝sin2x－π4＋1B．y＝sin2x－π2＋1C．y＝sin12x＋π4－1D．y＝sin12x＋π2－1解析：将函数y＝sinx的图像上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin2x的图像，将所得图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin2x＋1的图像，再将所得图像向右平移π4个单位长度，得到函数y＝sin2x－π4＋1＝sin2x－π2＋1的图像．故选B.答案：B2．要得到y＝2sin2x＋π3的图像，可由y＝2cosx的图像如何变换．解：∵y＝2cosx＝2sinx＋π2，∴先将y＝2sinx＋π2的图像的各点横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．得y＝2sin2x＋π2，再将得到的图像向右平移π12个单位即得y＝2sin2x＋π3的图像．[典例]已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的函数图像如图，求函数的一个解析式．[解]由图像知A＝3，又图像过点π3，0，5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判断为“五点作图法”中的第一点与第三点)，则有π3·ω＋φ＝0，5π6·ω＋φ＝π，解得ω＝2，φ＝－2π3.∴该函数的一个解析式为y＝3sin2x－2π3.考点三已知y＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图像求解析式[类题通法]已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求解析式(1)A：由最大值或最小值确定A.(2)ω：由图中已知相位的差确定周期，从而求ω.(3)φ：一般情况下，求出A，ω后，利用曲线上一点求φ，如已知曲线与x轴的交点x0，则令ωx0＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－ωx0＋kπ，k∈Z，再利用φ的范围求φ的值．[针对训练]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图，则点(ω，φ)的坐标是________．解析：由图像可知A＝2，T＝2πω＝2×5π24＋π24＝π2，∴ω＝4.又由图像可知当x＝－π24时，f(x)＝2，∴4×－π24＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋2π3.∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，因此点(ω，φ)的坐标是4，2π3.答案：4，2π3