2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 7 7.3 正切函数的诱导公式课件 北师大版必修4

1．π±α，2π±α的正切值与α的正切值的关系是什么？2.π2±α的正切值与α的正切值的关系是什么？7．3正切函数的诱导公式一、预习教材·问题导入正切函数的诱导公式(1)tan(2π＋α)＝；(2)tan(－α)＝；(3)tan(2π－α)＝；(4)tan(π－α)＝；(5)tan(π＋α)＝；(6)tanπ2＋α＝－cotα；(7)tanπ2－α＝cotα.tanα－tanαtanα－tanα－tanα二、归纳总结·核心必记[点睛](1)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角求值”，即由未知转化为已知的化归思想．(2)公式的记忆方法仍可以用“奇变偶不变，符号看象限”来记忆．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan(α－2π)＝－tanα()(2)tan(α－π)＝－tanα()(3)tanα－π2＝－cotα()×√×三、基本技能·素养培优2．化简tan(－α)＋tan(3π＋α)＝()A．0B．－2tanαC．tanαD．2tanα解析：选A原式＝－tanα＋tanα＝0.3．tan(－1920°)的值是()A．1B．－1C.3D．－3解析：选Ctan(－1920°)＝－tan1920°＝－tan(5×360°＋120°)＝－tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝3.4．化简tan2π－αtan3π＋αtan－π＋αtan3π－αtan－α－π＝________.解析：原式＝－tanαtanαtanα－tanα－tanα＝－1tanα.答案：－1tanα[典例]化简：sin540°－xtan900°－x·1tan450°－xtan810°－x·cos360°－xsin－x.[解]原式＝sin180°－xtan－x·1tan90°－xtan90°－x·cosxsin－x＝sinx－tanx·tanx·tanx－1tanx＝sinx.考点一三角函数式的化简[类题通法]利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程如下：[针对训练]化简：sinπ＋α·cosπ－α·tan－3π2－αtanπ2＋α·cos3π2＋α.解：原式＝－sinα·－cosα·tanπ2－α－cotα·sinα＝sinαcosα·cotα－cotα·sinα＝－cosα.考点二求值问题[典例](1)已知tanπ4＋α＝32，则tan3π4－α的值为()A.23B．－23C.32D．－32(2)求值：①tan(－870°)·tan930°＋tan(－1380°)·tan(－690°)；②tan10°tan20°tan30°tan45°tan60°tan70°tan80°.[解析](1)tan3π4－α＝tanπ－π4＋α＝－tanπ4＋α＝－32.[答案]D(2)①原式＝－tan870°·tan930°＋tan1380°·tan690°＝－tan(4×180°＋150°)·tan(5×180°＋30°)＋tan(7×180°＋120°)·tan(3×180°＋150°)＝－tan150°·tan30°＋tan120°·tan150°＝－－33×33＋(－3)×－33＝13＋1＝43.②原式＝tan10°tan20°tan30°tan45°cot30°cot20°·cot10°＝(tan10°cot10°)(tan20°cot20°)(tan30°·cot30°)tan45°＝tan45°＝1.[类题通法]利用正切函数的诱导公式求三角函数式值的方法(1)已知角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，通常是特殊的三角函数值．(2)对于给值求值问题，关键在于寻找已知正切值的角和待求正切值的角之间的关系．[针对训练]1．已知tanπ6－α＝13，则tan5π6＋α·tan2π3－α＝________.解析：tan5π6＋αtan2π3－α＝tanπ－π6－α·tanπ－π3＋α＝－tanπ6－α·－tanπ3＋α＝13tanπ2－π6－α＝13cotπ6－α＝13·1tanπ6－α＝13×3＝1.答案：12．计算：tan－37π4cos585°.解：原式＝－tan37π4cos(360°＋225°)＝－tan(9π＋π4)cos225°＝tanπ4cos45°＝1×22＝22.[典例]不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小．(1)tan156°与tan171°；(2)tan－11π4与tan－17π6.解：(1)90°＜156°＜171°＜270°，而90°＝π2，270°＝3π2.∵函数y＝tanx在π2，3π2上是增加的，∴tan156°＜tan171°.考点三利用正切函数单调性比较大小(2)tan－11π4＝－tan11π4＝－tan3π4＝tanπ4，tan－17π6＝－tan17π6＝－tan5π6＝tanπ6.∵函数y＝tanx在－π2，π2上是增加的，而－π2＜π6＜π4＜π2，∴tanπ6＜tanπ4，即tan－11π4＞tan－17π6.[类题通法]比较tanα与tanβ的大小时，可利用诱导公式化为增区间－π2，π2上的角的正切值进行比较．[针对训练]比较大小：tan1.5，tan2.5，tan3.5.解：tan2.5＝tan(2.5－π)，tan3.5＝tan(3.5－π)，∵π2＜2.5＜π，∴－π2＜2.5－π＜0，∵π＜3.5＜3π2，∴0＜3.5－π＜π2.∴－π2＜2.5－π＜3.5－π＜1.5＜π2.而y＝tanx在－π2，π2上是增加的，故tan(2.5－π)＜tan(3.5－π)＜tan1.5，即tan2.5＜tan3.5＜tan1.5.