2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像

1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？§7正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质一、预习教材·问题导入1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.batanα二、归纳总结·核心必记(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第和第象限时，其正切函数值为正；当角在第和第象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段为角α的正切线．sinαcosα一三二四AT[点睛](1)若α＝π2＋kπ(k∈Z)，则角α的终边落在y轴上，此时P(0，b)，比值ba无意义，因此正切函数的定义域为αα∈R，且α≠π2＋kπ，k∈Z.(2)正切函数tanα＝ba是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y＝tanx，x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的.x＝kπ＋π2(k∈Z)渐近线[点睛]正切曲线是被相互平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质函数y＝tanx定义域________________________值域周期性周期为()，最小正周期为奇偶性单调性xx∈R且x≠π2＋kπ，k∈ZRkπk∈Z，k≠0π奇函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是增加的1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R()(2)正切函数在整个定义域上是增函数()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()(4)正切函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形()×√××三、基本技能·素养培优2．直线y＝a与y＝tanx的图像的相邻两个交点的距离是()A.π2B．πC．2πD．与a的值的大小有关解析：选B由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.3．函数y＝tanx，x∈0，π4的值域是________．答案：[0,1]4．函数f(x)＝1－2cosx＋|tanx|是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案：偶[典例]如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝π6，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tanθ；(2)若已知Q35，45，试求tanα.考点一利用定义求正切值[解](1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P32，12，故θ的终边与单位圆交于P′32，－12，则tanθ＝－1232＝－33.(2)∵∠AOQ＝α且Q35，45，∴tanα＝4535＝43.[类题通法]利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P为角的终边(终边不与y轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P的纵坐标与横坐标的比值；若点P为角的终边(终边不与y轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P的纵坐标与横坐标的比值．[针对训练]1．已知点P(3x－5,2x－1)在角θ的终边上，若tanθ＝－12，则x＝________.解析：由正切函数的定义，可得tanθ＝2x－13x－5＝－12，解得x＝1.答案：12．已知θ为第二象限角，且P(x，5)为其终边上一点，若cosθ＝24x，则tanθ＝________.解析：因为θ为第二象限角，所以x0，所以cosθ＝xx2＋5＝24x，解得x＝－3或x＝3(舍去)．所以tanθ＝－53＝－153.答案：－153[典例](1)求函数f(x)＝3tan2x－π3的定义域．(2)求下列函数的值域．①y＝tanx－π4，x∈0，3π4；②y＝tan2x＋4tanx－1.[解](1)由题意知，2x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，∴x≠kπ2＋5π12(k∈Z)，考点二正切函数的定义域、值域(2)①∵x∈0，3π4，∴－π4≤x－π4＜π2，y＝tanx－π4在0，34π上为增函数，且y≥－1，∴函数y＝tanx－π4，x∈0，34π的值域为－1，＋∞.②令t＝tanx，则t∈R，y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，∴函数y＝tan2x＋4tanx－1的值域为－5，＋∞.[类题通法](1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tanx，需x≠kπ＋π2，k∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解法、换元法．[针对训练]1．函数y＝3x－x2tanx的定义域是A．(0,3]B．(0，π)C.0，π2∪π2，3D.0，π2∪π2，3解析：选C根据函数有意义的条件，得3x－x2≥0，tanx≠0，x≠kπ＋π2，(k∈Z)即0≤x≤3，x≠kπ(k∈Z)，x≠kπ＋π2，(k∈Z)故0＜x＜π2或π2＜x≤3，即函数y＝3x－x2tanx的定义域是0，π2∪π2，3，故选C.2．已知π4≤x≤π3，函数f(x)＝－tan2x＋10tanx－1，求函数f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x的值．解：设tanx＝t，∵x∈π4，π3，∴t∈[1，3]，∴f(x)＝－tan2x＋10tanx－1＝－t2＋10t－1＝－(t－5)2＋24.∴当t＝1，即x＝π4时，f(x)min＝8；当t＝3，即x＝π3时，f(x)max＝103－4.考点三正切函数的图像及其单调性[典例](1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间．(2)比较tan21π4与tan17π5的大小．[解](1)∵y＝tanx，在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是增加的，∴－π2＋kπ＜12x－π4＜π2＋kπ，k∈Z.∴2kπ－π2＜x＜2kπ＋3π2，k∈Z，即函数y＝tan12x－π4的单调递增区间是－π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)．(2)tan21π4＝tanπ4＋5π＝tanπ4，tan17π5＝tan3π＋2π5＝tan2π5.又∵函数y＝tanx在(0，π2)内单调递增，而0π42π5π2，∴tanπ4tan2π5，即tan21π4tan17π5.[类题通法]1．利用正切函数图像解不等式的策略解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2(k∈Z)，求得x的范围即可．(2)若ω0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．[针对训练]1．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间π2，3π2内的图像大致是()解析：选D法一：由题意，得y＝2tanx，x∈π2，π，2sinx，x∈π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x从右边无限接近π2时，tanx趋向于－∞，故|tanx－sinx|趋向于＋∞，∴y趋向于－∞.故选D.解：(1)当kπ－π2＜x2－π6＜kπ＋π2(k∈Z)，即2kπ－2π3＜x＜2kπ＋4π3(k∈Z)时，函数y＝tanx2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是2kπ－2π3，2kπ＋4π3(k∈Z)．2．写出下列函数的单调区间．(1)y＝tanx2－π6；(2)y＝|tanx|.(2)y＝|tanx|＝tanx，x∈kπ，kπ＋π2，k∈Z，－tanx，x∈kπ－π2，kπ，k∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y＝|tanx|的单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)，单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)．[典例]已知f(x)＝－atanx(a≠0)．(1)判断f(x)在x∈－π3，π3上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的单调区间．[解](1)∵f(x)＝－atanx(a≠0)，x∈－π3，π3，∴f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)．又定义域－π3，π3关于原点对称，∴f(x)为奇函数．考点四正切函数的奇偶性与周期性(2)f(x)的最小正周期为π.(3)∵y＝tanx在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递增，∴当a0时，f(x)在kπ－π2，kπ＋π2上单调递减，当a0时，f(x)在kπ－π2，kπ＋π2上单调递增．[类题通法](1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π.[针对训练]1．函数y＝tanxa的最小正周期是()A．πaB．π|a|C.πaD.π|a|解析：选BT＝π1a＝π|a|.2．下列关于函数y＝tanx＋π3的说法正确的是()A．在区间－π6，5π6上是增加的B．最小正周期是πC．图像关于点π4，0成中心对称D．图像关于直线x＝π6成轴对称解析：选B令kπ－π2x＋π3kπ＋π2，解得kπ－5π6xkπ＋π6，k∈Z，显然－π6，5π6不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋π3＝kπ2，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tanx＋π3的图像也没有对称轴，故D错误．故选B.