搜索
1．正角、负角、零角是如何定义的？2．象限角的含义是什么？3．终边相同角的含义是什么？§2角的概念的推广一、预习教材·问题导入1．角的概念(1)角的概念角可以看成平面内绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的．(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：一条射线端点图形二、归纳总结·核心必记类型定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线，称它形成了一个零角逆时针顺时针没有作任何旋转[点睛](1)角的范围不再限于0°～360°，小于90°的角不一定是锐角；(2)角的概念是通过角的终边的旋转来推广的，根据角的终边的旋转方向，得到正角、负角和零角．2．象限角若角的顶点与重合，角的始边与重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是．[点睛]当角的终边落在坐标轴上时，这个角不属于任何象限．原点x轴的非负半轴第几象限角3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．α＋k×360°周角的整数倍[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角都是第一象限角()(2)第一象限角一定不是负角()(3)小于180°的角是钝角、直角或锐角()(4)终边与始边重合的角是零角．()××√×三、基本技能·素养培优2．－510°在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C∵－510°＝－720°＋210°，∴－510°角与210°角终边相同，在第三象限．3．与－525°的终边相同的角可表示为()A．525°－k·360°(k∈Z)B．165°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z)D．－195°＋k·360°(k∈Z)解析：选C在α＝195°＋k·360°(k∈Z)中，令k＝－2，得α＝－525°.4．与970°角的终边相同的最小正角为________，与970°角的终边相同且绝对值最小的角是________．解析：易知与970°角的终边相同的最小正角为250°，与970°角的终边相同且绝对值最小的角为－110°.答案：250°－110°[典例]有下列说法：①相差360°的整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β＜90°}；③第二象限角都是钝角；④小于90°的角不一定都是锐角；⑤三角形的内角必是第一、二象限角．其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．考点一有关角的概念的理解[解析]题号正误原因分析①×终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立②√α是锐角，即0°＜α＜90°，故{α|0°＜α＜90°}{β|0°≤β＜90°}③×第二象限角不一定都是钝角，如－300°是第二象限角，但它不是钝角题号正误原因分析④√负角和零角都小于90°，但它们不是锐角⑤×90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故⑤不正确[答案]②④[类题通法]理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．下列说法正确的是()A．锐角不一定是第一象限的角B．终边相同的角一定相等C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角解析：选D锐角大于0°且小于90°，一定是第一象限角，A不正确；30°与390°角的终边相同，但不相等，B不正确；360°角的终边也与始边重合，C不正确；只有D正确．2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120°B．－120°C．－60°D．60°解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[典例]写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1080°≤β＜－360°的角β.[解][法一赋值法]与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；故符合条件的角有－1055°，－695°.考点二求与角α终边相同的角[法二解不等式法]与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1080°≤k·360°＋25°＜－360°，得－3572≤k＜－1572.又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.当k＝－3时，β＝－1055°；当k＝－2时，β＝－695°，故符合条件的角有－1055°，－695°.[类题通法]求与角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式法求解，确定k的值，从而求出符合条件的角．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解：(1)－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.[针对训练][典例]如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．考点三区间角的表示[解](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．[类题通法]区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；[针对训练]如图所示，(1)写出终边在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{α|α＝210°＋k×360°，k∈Z}．终边在射线OB上的角的集合是{α|α＝300°＋k×360°，k∈Z}．(2)终边在阴影部分(含边界)角的集合是{α|210°＋k×360°≤α≤300°＋k×360°，k∈Z}．