2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）第2课时 函数

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用第一章三角函数考点学习目标核心素养三角函数解析式的确定能根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其解析式直观想象三角函数的性质掌握三角函数的综合性质直观想象、数学运算第一章三角函数问题导学预习教材P54－P55，并思考下列问题：1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？2．函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A0或ω0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin2x－π4的初相不是φ＝－π4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.()(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.()(3)“五点法”作函数y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为π3，0.()答案：(1)×(2)×(3)×函数y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2答案：B函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝5π6B．A＝3，T＝5π3C．A＝32，T＝5π6D．A＝32，T＝5π3答案：D函数f(x)＝sinx－π4的图象的对称轴方程是________．答案：x＝kπ＋3π4，k∈Z函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．由图象求三角函数的解析式【解析】由题图得A＝2，T2＝π3－－π6＝π2，即T＝π.由ω0，T＝2πω＝π得ω＝2.又当x＝π3时，ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即2×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π6(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝－π6.因此f(x)＝2sin2x－π6(x∈R)．【答案】f(x)＝2sin2x－π6，x∈R.根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，结合φ的范围求出φ.(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A0，ω0，|φ|π2，则()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝π6D．B＝4解析：选C.由图象可知，A＝2，14T＝5π12－π6＝π4，T＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点0，52，求这个函数的解析式．解：由题意知A＝5，T2＝π4，所以T＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．又因为图象经过点0，52，所以52＝5sinφ，即sinφ＝12，所以φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，又因为0φπ2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y＝5sin4x＋π6.已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．三角函数图象的对称性【解】由T＝2πω＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin2x＋π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，即对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z.1．[变问法]本例中函数不变，则函数的对称中心为________．解析：令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2－π6(k∈Z)．所以该函数的对称中心为kπ2－π6，0，(k∈Z)．答案：kπ2－π6，0，k∈Z2．[变条件]若本例中函数变为f(x)＝cos12x＋π3，则对称轴方程为________．解析：令12x＋π3＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－23π，k∈Z.答案：x＝2kπ－2π3，k∈Z三角函数对称轴、对称中心的求法对称轴对称中心y＝Asin(ωx＋φ)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称中心横坐标y＝Acos(ωx＋φ)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，求对称中心横坐标y＝Atan(ωx＋φ)无令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求对称中心横坐标1．下列函数中，图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin2x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin2x＋π6D．y＝sinx2＋π6解析：选B.当x＝π3时，仅有选项B中的函数y＝sin2x－π6取得最值，故函数y＝sin2x－π6的图象关于直线x＝π3对称．2．将函数f(x)＝2cosx＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是()A.π12，0B.π3，0C.5π12，0D.2π3，0解析：选D.由题意g(x)＝2cos2x＋π6，令2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π6＋kπ2，k∈Z，当k＝1时，x＝2π3，故函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是2π3，0.(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝sin2x＋π3，以下命题中为假命题的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称B．x＝－π6是函数f(x)的一个零点C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到D．函数f(x)在0，π12上是增函数三角函数性质的综合应用【解析】令2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，当k＝0时，x＝π12，即函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称，选项A正确；令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－π6，即x＝－π6是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋π3＝2x＋π6，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C错误；若x∈0，π12，则2x＋π3∈π3，π2，故f(x)在0，π12上是增函数，选项D正确．故选C.【答案】C(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为奇函数．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．1．下列函数中周期为π且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sinx2＋π3B．y＝2sin2x－π6C．y＝2sin2x＋π6D．y＝2sinx2－π3解析：选B.由函数的周期为π，排除A，D，B中函数y＝2sin2x－π6，当x＝π3时，y＝2sin2π3－π6＝2，取得最大值2，故x＝π3是其对称轴，B符合题意；C中函数y＝2sin2x＋π6，当x＝π3时，y＝2sin2π3＋π6＝1，故x＝π3不是函数的对称轴．故选B.2．已知函数f(x)＝2sinωx－π6的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值分别是()A．2和－2B．2和0C．2和－1D.32和－32解析：选C.由题知2πω＝π，得ω＝2，所以函数y＝f(x)＝2sin2x－π6.又因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，所以sin2x－π6∈－12，1，所以2sin2x－π6∈[－1，2]，故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.故选C.规范解答三角函数图象性质的综合应用(本题满分12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象过点Pπ12，0，图象与P点最近的一个最高点坐标为π3，5.(1)求函数的解析式；(2)指出该函数的增区间；(3)求使y≤0时，x的取值范围．【解】(1)因为图象的一个最高点坐标为π3，5，所以A＝5，T4＝π3－π12＝π4，所以T＝π，所以ω＝2πT＝2.(2分)由于ω·π12＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－π6(k∈Z)．由图象上点坐标求出φ的值，是本题易错点又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，所以y＝5sin2x－π6.(4分)(2)因为函数的增区间满足2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，所以2kπ－π3≤2x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，所以kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(8分)(3)因为5sin2x－π6≤0，所以2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，(10分)由y≤0列出不等是本问求解的关键，否则不得分所以kπ－512π≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，所以使y≤0时，x的取值范围是x|kπ－512π≤x≤kπ＋π12，k∈Z.(12分)(1)对于y＝Asin(ωx＋φ)主要研究其单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等，应注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．(2)本例中(2)(3)问都体现整体思想．1．简谐运动y＝14sin13πx－π12的频率f＝__________．解析：周期T＝2π13π＝6，则频率f＝1T＝16.答案：162．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为________．解析：由题意知2×π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π6＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.答案：－56π3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，A0，|φ|π2的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)在－π4，π6上的值域．解：(1)由图象可知A＝1，T4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.(2)当x∈－π4，π6时，2x＋π3∈－π6，2π3，所以f(x)＝sin2x＋π3∈－12，1，所以函数f(x)的值域为－12，1.