2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象课件 新

1.5函数y=Asin(ωx+)的图象目标导航课标要求1.能利用“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象.2.掌握正弦曲线与y=Asin(ωx+)的图象的关系,会用y=Asin(ωx+)的性质解题.3.能根据y=Asin(ωx+)的部分图象,确定其解析式.素养达成1.通过“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象提升学生养成数学抽象、数学建模的素养.2.利用A,ω,对y=Asin(ωx+)的图象的影响的学习,增强学生数学建模、数据分析的核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成A,ω,对函数y=Asin(ωx+)图象的影响(1)对函数y=sin(x+)的图象的影响:(2)ω对函数y=sin(ωx+)的图象的影响:(3)A对函数y=Asin(ωx+)的图象的影响:思考:由y=2sin（2x-π3）的图象得到y=sin（2x-π3）的图象,应如何变换?提示:y=2sin（2x-π3）的图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的12倍.(4)函数y=Asin(ωx+),A0,ω0中各参数的物理意义y=sin(x+)的图象y=sin(ωx+)的图象y=Asin(ωx+)的图象.名师点津教师备用(1)准确理解“变换法”作图的两种主要途径①先平移后伸缩:y=sinx的图象②先伸缩后平移:y=sinx的图象y=sinωx的图象y=sin(ωx+)的图象y=Asin(ωx+)的图象.注意:两种途径的变换顺序不同,其中的变换量也不同,但平移的方向是一致的.(2)函数y=Asin(ωx+),A0,ω0的有关性质性质y=Asin(ωx+)定义域R值域[-A,A]对称性对称中心（πk,0）(k∈Z),对称轴x=πk+π22(k∈Z)奇偶性当=0时是奇函数单调性通过整体代换可求出其单调区间课堂探究·素养提升题型一画函数y=Asin(ωx+)的简图[例1]用“五点法”作出函数y=2sin（2x-π3）的简图.解:列表:2x-π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6y=2sin（2x-π3）020-20描点,连线得函数y=2sin（2x-π3）在一个周期内的图象.再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度,就可得函数y=2sin（2x-π3）(x∈R)的图象.方法技巧“五点法”作函数y=Asin(ωx+)图象的步骤第一步:列表.ωx+0π2π32π2πx-π2-π-3π2-2π-y0A0-A0第二步:在同一坐标系中描出各点.第三步:用平滑的曲线连接这些点,得到图象.即时训练1-1:作出函数y=12cos(12x+π3)在一个周期内的简图.解:列表:12x+π30π2π3π22πx-2π3π34π37π310π3y120-12012描点,连线得函数y=12cos(12x+π3)在一个周期内的图象,如图:[备用例1]用“五点法”作出函数y=2sin(2x+)的简图.π3解:(1)列表如下:2x+π30π2π3π22πx-π6π12π37π125π6y020-20(2)描点画图:把y=2sin（2x+π3）,x∈[-π6,5π6]的图象向左、右扩展,即可得y=2sin(2x+π3)的简图.[例2]已知函数y=12sin(2x+π6),该函数的图象如何由y=sinx(x∈R)的图象经过变换得到?题型二运用图象变换作函数图象解:法一①将函数y=sinx的图象向左平移π6个单位长度,可以得到函数y=sin(x+π6)的图象;②把y=sin(x+π6)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,而纵坐标不变,可以得到函数y=sin(2x+π6)的图象;③将函数y=sin(2x+π6)的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的12,而横坐标不变,可以得到函数y=12sin(2x+π6)的图象.法二①将函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,而纵坐标不变,得到函数y=sin2x的图象;②将y=sin2x的图象向左平移π12个单位长度,可以得到函数y=sin(2x+π6)的图象;③将y=sin(2x+π6)的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的12,而横坐标不变,可以得到函数y=12sin(2x+π6)的图象.方法技巧左右平移时要注意:(1)明确平移的方向;(2)要弄清楚平移的单位长度是针对“自变量x”的改变量,以免混淆而导致失误,总之,弄清平移对象是减少失误的好方法.即时训练2-1:说出y=sin(12x+π6)的图象怎样由y=sin12x的图象得到?解:因为y=sin(12x+π6)=sin12(x+π3),所以y=sin(12x+π6)的图象可由y=sin12x的图象向左平移π3个单位得到.[备用例2]函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω0)的最小正周期为π,怎样将f(x)的图象变换得到g(x)=cosωx的图象?解:因为T=2π=π,所以ω=2.所以f(x)=sin(2x+π4),g(x)=cos2x.而sin[2(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cos2x.所以将f(x)的图象向左平移π8个单位长度得到g(x)=cos2x的图象.[例3](2018·抚顺市高一期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A0,ω0,0π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12,图象在y轴上的截距为3,给出下列四个结论:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③f(π4)=1;④f(x-π6)为奇函数.其中正确结论的个数是()题型三求三角函数的解析式(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据函数f(x)=Asin(ωx+)(A0,ω0,0π)的部分图象,12·2π=7π12-π12,所以ω=2.再根据五点法作图可得2×π12+=π2+2kπ,k∈Z,又0π,所以=π3.根据函数的图象经过(0,3)可得Asin=Asinπ3=3,A=2,所以f(x)=2sin(2x+π3).故①f(x)的最小正周期为π,正确;②f(x)的最大值为2,正确;③f(π4)=1,正确;④f(x-π6)=2sin2x为奇函数,正确,故选D.方法技巧(2)由图示两点的横坐标确定周期T,进而由ω=2πT求得ω.确定三角函数解析式的一般思路(1)由图示纵坐标,如最高点、最低点的纵坐标确定A.(3)由五个点中的任一点横坐标代入ωx+均可求得,其关键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点.一般用最高点(ωx+=π2)或最低点(ωx+=32π)不易出错,而用零点时一定要分清是“上始点”(ωx+=0),还是“下始点”(ωx+=π),否则将有可能得出错解.此外,若不在要求的范围内,可通过加2kπ(k∈Z)来完成.即时训练3-1:(1)一正弦曲线的一个最高点为(14,3),从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点(-14,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为;解析:(1)由题知A=3,由T=4×[14-(-14)]=2,求得ω=π,再利用当x=14时,πx+=π2,求出=π4.答案:(1)y=3sin(πx+π4)(2)(2018·大连市高一期末)函数y=Asin(ωx+)(A0,||π2)部分图象如图,则函数解析式为.解析:(2)根据函数y=Asin(ωx+)(A0,||π2)的部分图象,可得A=2,12·2π=7π2-π2,所以ω=13,结合五点法作图可得13·π2+=2kπ,k∈Z,又||π2,所以=-π6,故函数的解析式为y=2sin(13x-π6).答案:(2)y=2sin(13x-π6)[备用例3]函数f(x)=Asin(ωx+)中,A0,ω0,||π2,函数的最大值为2,其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π,又图象过点(0,2),求函数f(x)的解析式.解:由题意,A=2,2T=3π,所以ω=13.所以f(x)=2sin(13x+).又f(x)的图象过点(0,2),则sin=22.又||π2,所以=π4,函数解析式为f(x)=2sin(13x+π4).[例4]函数y=sin(5x-π2)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍.所得图象的函数解析式为()(A)y=sin（10x-34π）(B)y=sin(10x-72π)(C)y=sin(10x-32π)(D)y=sin(10x-74π)题型四易错辨析错解1:将原函数图象向右平移π4个单位长度得y=sin（5x-π4-π2）=sin（5x-3π4）,再压缩横坐标得y=sin（10x-3π4）.故选A.错解2:将原函数图象向右平移π4个单位长度得:y=sin5(x-π4-π10)=sin5(x-7π20),再压缩横坐标得y=sin10（x-7π20）.故选B.纠错:这两种解法都是错误的.其原因在于没有弄清楚变换的对象.错误解法1在平移变换时把5x看做变换的对象;错误解法2中,在伸缩变换时把5(x-7π20)看成了变换的对象.正解:将原函数向右平移π4个单位长度,所得函数解析式为y=sin[5(x-π4)-π2]=sin(5x-7π4),再压缩横坐标得y=sin(10x-7π4).故选D.课堂达标1.函数y=sin(2x+π3)的图象()(A)关于点(π3,0)对称(B)关于直线x=π4对称(C)关于点(π4,0)对称(D)关于直线x=π3对称A解析:令sin(2x+π3)=0得2x+π3=kπ,k∈Z,即x=2kπ-π6,k∈Z,k=1时,x=π3,即函数y=sin(2x+π3)关于点(π3,0)对称.2.(2018·泉州市高一期末)已知函数f(x)=sin(-4x+π6),则f(x)的单调增区间为.解析:函数f(x)=sin(-4x+π6)=-sin(4x-π6),令2kπ+π2≤4x-π6≤2kπ+3π2,求得π2k+π6≤x≤π2k+5π12,故f(x)的单调增区间为[π2k+π6,π2k+5π12],k∈Z,答案:[π2k+π6,π2k+5π12],k∈Z3.已知函数y=2sin(ωx+)(ω0)在一个周期内,当x=π12时有最大值2,当x=7π12时有最小值-2,则ω=.解析:由题意知,T=2×(7π12-π12)=π,所以ω=2πT=2.答案:24.(1)利用“五点法”画出函数y=sin(12x+π6)在长度为一个周期的闭区间的简图;列表:12x+π6xy作图:解:(1)先列表,后描点并画图.12x+π60π2π3π22πx-π32π35π38π311π3y010-10(2)并说明该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样变换得到的.解:(2)把y=sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin（x+π6）的图象,再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin（12x+π6）的图象.或把y=sinx的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x的图象.再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin12(x+π3),即y=sin(12x+π6)的图象.