2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第1课

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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)目标定位重点难点1.会用平移、伸缩变换画函数y=Asin(ωx+φ)的图象2.注意先平移再变换周期与先变换周期再平移的区别重点:平移、伸缩变换画函数y=Asin(ωx+φ)的图象难点:先平移再变换周期与先变换周期再平移的区别A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响(1)函数y=sinx――→图象上所有点φ0或φ0平移|φ|个单位长度y=sin(x+φ)的图象.向左向右(2)函数y=sin(x+φ)――→图象上所有点的横坐标ω>1或0ω1到原来的1ω倍,纵坐标不变y=sin(ωx+φ)的图象.(3)函数y=sin(ωx+φ)――→图象上所有点的纵坐标A1或0A1到原来的A倍,横坐标不变y=Asin(ωx+φ)的图象.缩短伸长伸长缩短1.想一想怎样把y=sin(x+φ)的图象变换成y=sinx的图象?【解析】只需把y=sin(x+φ)的图象向左(φ<0)或向右(φ>0)平移|φ|个单位长度便可得y=sinx的图象.2.为了得到y=cosx4的图象,只需把y=cosx的图象上的所有点()A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的14,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的14,横坐标不变【答案】A3.(2019年广东佛山模拟)将函数y=2sin2x+π4的图象向右平移π12个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为()A.y=2sin2x-5π12B.y=2sin2x+5π12C.y=2sin2x-π12D.y=2sin2x+π12【答案】D画y=Asin(ωx+φ)的简图【例】已知函数y=2sin2x-π3,用“五点法”画出其简图.【解题探究】“五点法”列表→描点→连线【解析】列表2x-π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6y=2sin2x-π3020-20描点,连线得函数y=2sin2x-π3在一个周期内的图象.再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度,即可得函数y=2sin2x-π3的图象.【方法规律】“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤第一步:列表.ωx+φ0π2π32π2πx-φωπ2ω-φωπω-φω3π2ω-φω2πω-φωy0A0-A0第二步:在同一坐标系中描出各点.第三步:用平滑的曲线连接这些点,得到图象.作出函数y=12cos12x+π3在一个周期内的图象.【解析】列表12x+π30π2π3π22πx-2π3π34π37π310π3y120-12012描点,连线得函数y=12cos12x+π3在一个周期内的图象,如图.三角函数图象的平移变换【例2】(2018年陕西商洛模拟)要得到y=sin2x-π3的图象,只要将y=sin2x的图象()A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【解题探究】将y=sin2x的表达式转化成与y=sin2x-π3同名的三角函数,再观察左右平移的长度即可.【答案】D【解析】将y=sin2x向右平移π6个单位长度,得y=sin2x-π6=sin2x-π3.故选D.【方法规律】已知两个函数的解析式,判断其图象间的平移关系的步骤(1)将两个函数解析式化简成y=Asinωx与y=Asin(ωx+φ),即A,ω及名称相同的结构.(2)找到ωx→ωx+φ,变量x“加”或“减”的量,即平移的单位长度为φω.(3)明确平移的方向.函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,为了得到y=cos2x的图象,则只要将f(x)的图象()A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向右平移π12个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A=1,T=π,∴ω=2πT=2.∴f(x)=sin(2x+φ).又f7π12=sin7π6+φ=-1,∴7π6+φ=3π2+2kπ(k∈Z),φ=π3+2kπ(k∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=π3.∴f(x)=sin2x+π3=sinπ2+2x-π6=cos2x-π6.∴将函数f(x)向左平移π12个单位长度可得到cos2x+π12-π6=cos2x的图象.故选C.三角函数图象的伸缩变换【例3】如何由函数y=sinx的图象通过变换得到y=12sin2x的图象?【解题探究】y=sinx――→伸缩变换y=sin2x――→振幅变换y=12sin2x将函数y=sinx的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象对应的函数解析式为()A.y=2sinxB.y=12sinxC.y=sin2xD.y=sin12x【答案】D【解析】由题意知,最小正周期变为原来的2倍,即4π,所以2πω=4π,因此ω=12.所以所得图象对应的函数解析式为y=sin12x,故选D.平移变换中的理解误区【示例】把函数y=sin3x-π4的图象向左平移π3个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,则所得函数的解析式为()A.y=sin3x+π12B.y=sin6x+3π4C.y=sin32x+π12D.y=sin32x+3π4【错解】B或C【错因】(1)解题过程中,对伸缩变换理解不到位,对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准而致错;(2)解题过程中不能理解平移的实质而出现错误.【正解】把函数y=sin3x-π4的图象向左平移π3个单位长度,可得y=sin3x+π3-π4的图象,即函数解析式为y=sin3x+3π4,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,可得y=sin32x+3π4的图象.【答案】D【警示】1.图象的左右平移是针对x而言的.2.图象的伸缩变换即周期交换,在交换中纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω.1.准确理解“变换法”作图的两种主要途径(1)先平移后伸缩:y=sinx的图象――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位长度y=sin(x+φ)的图象――→横坐标变为原来的纵坐标不变y=sin(ωx+φ)的图象――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ)的图象.(2)先伸缩后平移:y=sinx的图象――→横坐标变为原来的纵坐标不变y=sinωx的图象――→向左φ>0或向右φ<0平移φω个单位长度y=sin(ωx+φ)的图象――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ)的图象.注意:两种途径的变换顺序不同,其中的变换量也不同,但平移的方向是一致的.1.下列命题正确的是()A.y=sinx的图象向右平移π2个单位长度得y=cosx的图象B.y=cosx的图象向右平移π2个单位长度得y=sinx的图象C.当φ0时,y=sinx的图象向右平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象D.当φ0时,y=sinx的图象向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象【答案】B2.(2019年广东江门期末)把函数y=sinx的图象向右平移π8个单位长度,再把各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得图象的函数解析式为()A.y=sin12x+π8B.y=sin12x-π8C.y=sin2x+π8D.y=sin2x-π4【答案】B【解析】函数y=sinx的图象向右平移π8个单位长度,得y=sinx-π8,再把各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得y=sin12x-π8.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间-π6,5π6上的图象.为了得到这个函数的图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点()A.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变B.向左平移π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变D.向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变【答案】A【解析】由图象知T=π,∴ω=2.又A=1,∴y=sin(2x+φ).又图象过点π3,0,∴sin2π3+φ=0.∴φ=2kπ+π3,k∈Z.∴y=sin2x+π3,故A满足条件.4.(2018年江苏模拟)将函数y=3sin2x-π6的图象向左平移π4个单位长度后,所在图象对应的函数解析式为________.【答案】y=3sin2x+π3【解析】把函数y=3sin2x-π6的图象向左平移π4个单位长度,所得图象的解析式是y=3sin2x+π4-π6=3sin2x+π3.

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