2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教A版必

考试标准课标要点学考要求高考要求正切函数性质bb正切函数图象bb知识导图学法指导1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象．2．从正切函数的几何画法体验直线x＝±π2为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(－∞，＋∞).函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域________________值域____周期____奇偶性________单调性在开区间___________________上都是增函数xx≠kπ＋π2，k∈ZRπ奇函数kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z状元随笔如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指x＝－π2和x＝π2.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为T＝πω.()(2)正切函数在R上是单调递增函数．()(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．()×××2．下列说法正确的是()A．y＝tanx是增函数B．y＝tanx在第一象限是增函数C．y＝tanx在某一区间上是减函数D．y＝tanx在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确．答案：D3．函数y＝tanx＋π4的定义域是()A.xx≠－π4B.xx≠π4C.xx≠kπ－π4，k∈ZD.xx≠kπ＋π4，k∈Z解析：由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ＋π4，k∈Z.答案：D4．已知函数f(x)＝tan2x＋π3，则函数f(x)的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：解法一函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝π|ω|，可得T＝π|2|＝π2.解法二由诱导公式可得tan2x＋π3＝tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π2＋π3，所以fx＋π2＝f(x)，所以周期为T＝π2.答案：B类型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝11＋tanx；(2)y＝lg(3－tanx)．【解析】(1)要使函数y＝11＋tanx有意义，需使1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.(2)要使y＝lg(3－tanx)有意义，需使3－tanx0x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域是xkπ－π2xkπ＋π3，k∈Z.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠kπ＋π2，k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1(1)函数y＝1tanx的定义域为()A.{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C.xx≠kπ＋π2，k∈ZD.xx≠kπ2，k∈Z(2)求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．解析：(1)函数y＝1tanx有意义时，需使tanx≠0x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域为{x|x≠kπ＋π2，且x≠kπ，k∈Z}＝{x|x≠kπ2，k∈Z}.(2)由题意得tanx＋1≥0，1－tanx0，即－1≤tanx1.在－π2，π2内，满足上述不等式的x的取值范围是[－π4，π4).又y＝tanx的周期为π，所以所求函数的定义域是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数x≠kπ＋π2，k∈Z类型二正切函数的单调性及其应用例2求函数y＝tan－3x＋π4的单调区间．【解析】y＝tan－3x＋π4＝－tan3x－π4.由－π2＋kπ3x－π4π2＋kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ3xπ4＋kπ3(k∈Z)．所以函数y＝tan－3x＋π4的单调递减区间为(－π12＋kπ3，π4＋kπ3)(k∈Z)．状元随笔先利用诱导公式将函数转化为y＝－tan3x－π4，再由－π2＋kπ3x－π4π2＋kπ(k∈Z)解出x即可．方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．②若ω0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．跟踪训练2本例(2)函数变为y＝tan－12x＋π4，求该函数的单调区间．解析：y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，由kπ－π212x－π4kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π2x2kπ＋32π，k∈Z，所以函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是(2kπ－π2，2kπ＋32π)，k∈Z.类型三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)＝tanx2－π3.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．【解析】(1)由x2－π3≠π2＋kπ(k∈Z)．得x≠5π3＋2kπ(k∈Z)．所以f(x)的定义域是{x|x≠5π3＋2kπ}，k∈Z.因为ω＝12，所以最小正周期T＝πω＝π12＝2π.由－π2＋kπx2－π3π2＋kπ(k∈Z)，得－π3＋2kπx5π3＋2kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是－π3＋2kπ，5π3＋2kπ(k∈Z)．由x2－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋23π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是kπ＋23π，0，k∈Z.(2)由－1≤tanx2－π3≤3，得－π4＋kπ≤x2－π3≤π3＋kπ(k∈Z)，解得π6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤3的解集是{x|π6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ}，k∈Z.由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．由tanx2－π3的范围确定x2－π3的范围是本题的难点．方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3已知α∈π2，π，且1＋tanα≥0，则角α的取值范围是________．解析：1＋tanα≥0，所以tanα≥－1，作出正切函数y＝tanα，y＝－1的图象，由图象可得，当α∈π2，π时，满足不等式的角α的范围是3π4≤απ，即α的取值范围是3π4，π.答案：3π4，π对于不等式tanα≥a，作出正切函数的图象，作出y＝a的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角α的范围.