2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

1.周期函数(1)周期函数.①对于函数f(x)，存在一个______常数T条件②当x取定义域内的每一个值时，都有____________结论函数f(x)叫做_________，_________叫做这个函数的______(2)最小正周期.条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____结论这个最小______叫做f(x)的最小正周期非零f(x＋T)＝f(x)周期函数非零常数T周期正数正数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π____奇偶性________________2π奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.()(2)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.()(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()×××2．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x解析：对于A，T＝2π12＝4π，对于B，T＝2π2＝π，对于C，T＝2π14＝8π，对于D，T＝2π4＝π2.答案：D3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.答案：A4．下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2xB．y＝－sinxC．y＝sin|x|D．y＝sinx＋1解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．答案：C类型一求三角函数的周期例1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|(2)函数y＝2sinx3－π6的周期为________．【解析】(1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．(2)方法一因为2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即2sin13x＋6π－π6＝2sinx3－π6.所以y＝2sinx3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】(1)D(2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x)；也可利用公式T＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0)，可利用T＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1求下列函数的周期．(1)y＝2sin2x；(2)y＝cos12x＋π6.解析：(1)方法一因为2sin(2x＋2π)＝2sin2x，即2sin2(x＋π)＝2sin2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.方法二T＝2π2＝π.(2)方法一因为cos12x＋π6＋2π＝cos12x＋π6，即cos12x＋4π＋π6＝cos12x＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.方法二T＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期．(2)利用公式T＝2π|ω|求函数周期．类型二正、余弦函数的奇偶性问题例2判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos2x＋5π2；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解析】(1)函数的定义域为R.且f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos2x＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，所以函数f(x)＝sin(cosx)是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.解析：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．(1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cosx的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性．类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．【解析】因为f(x)的最小正周期是π，所以f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，因为f(x)是R上的偶函数，所以f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.利用周期性f5π3＝f53π－2π＝f－π3，再利用奇偶性f－π3＝fπ3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f－176π的值．解析：因为f(x)的最小正周期是π2，所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝sinπ6＝12利用周期性f－176π＝f－3π＋π6＝fπ6代入求值．