2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 诱导公式（二）课件 新人教A版必修4

诱导公式五、六状元随笔(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点是P′(－y0，－x0)．()(2)诱导公式五、六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．()×√2．化简：sin20172π＋x＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx解析：sin20172π＋x＝sin1008π＋π2＋x＝sinπ2＋x＝cosx答案：B3．已知sinθ＝15，则cos(450°＋θ)的值是()A.15B．－15C．－265D.265解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－15.答案：B4．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：0类型一利用诱导公式求值例1(1)已知πα2π，cos(α－9π)＝－35，则cosα－11π2的值为()A.35B．－35C．－45D.45(2)已知sinα＋π3＝13，则cosπ6－α＝()A．－13B.13C.233D．－233【解析】(1)由cos(α－9π)＝－cosα＝－35，所以cosα＝35，因为α∈(π，2π)，所以sinα＝－1－cos2α＝－45，cosα－11π2＝－sinα＝45.(2)因为sinα＋π3＝13，所以cosπ6－α＝cos[π2－α＋π3]＝sinα＋π3＝13.【答案】(1)D(2)B(1)化简已知可得cosα，化简要求的函数可知需要求出sinα.(2)α＋π3＋π6－α＝π2.方法归纳利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如π4±α，π6＋α与π3－α的关系．跟踪训练1若cos(π＋α)＝－105，且α∈－π2，0，则tan3π2＋α＝__________.解析：因为cos(π＋α)＝－105，所以cosα＝105，因为α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－155，所以tan3π2＋α＝tanπ＋π2＋α＝tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝105155＝1015＝63.答案：63由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα.tan3π2＋α可化为sinα，cosα的关系．类型二利用诱导公式证明恒等式例2求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ.【证明】右边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立.等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.跟踪训练2求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．类型三诱导公式的综合应用例3已知f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α＝－sinα·cosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，又cosα－3π2＝cosα＋π2＝－sinα，即sinα＝－15，而α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.(3)α＝－313π时，f(α)＝－cosα＝－cos－31π3＝－cos－10π－π3＝－cosπ3＝－12.首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Pa，35，求sinπ2＋α＋2sinπ2－α2cos3π2－α的值．解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Pa，35，所以a2＋925＝1(a0)，所以a＝－45，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以原式＝cosα＋2cosα－2sinα＝－32·cosαsinα＝－32×－4535＝2.首先注意α的范围．求出α的范围与值再利用诱导公式求值．