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1.3三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式一～四目标导航课标要求1.理解诱导公式的推导方法.2.准确记忆诱导公式一～四.3.掌握诱导公式一～四并灵活运用.素养达成1.借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式,增强直观想象、逻辑推理的核心素养.2.运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明,发展数学运算、逻辑推理的核心素养,培养化归、转化的能力.新知导学课堂探究新知导学·素养养成诱导公式一～四-sinα-cosα-tanα-sinα-cosα-tanα-sinα-cosα-tanα公式一～四可以概括为:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.思考:诱导公式中的角α只能是锐角吗?提示:角α不仅仅是锐角,可以是任意角.同名记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变,符号看象限”,其含义是公式两边的函数名称不变,符号则是将角α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.名师点津课堂探究·素养提升题型一给角求值[例1]求下列各三角函数值:(1)sin(-83π);(2)cos196π;解:(1)sin(-83π)=-sin83π=-sin(2π+23π)=-sin23π=-sin(π-π3)=-sinπ3=-32.(2)cos196π=cos(2π+76π)=cos(π+π6)=-cosπ6=-32.(3)tan(-855°);(4)sin[(2n+1)π-π].(4)sin[(2n+1)π-23π]=sin[2nπ+(π-23π)]=sinπ3=32.23解:(3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.方法技巧利用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤即时训练1-1:求下列各三角函数值:(1)sin1320°;解:(1)法一sin1320°=sin(3×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-32.法二sin1320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin60°=-32.解:(2)法一cos(-31π6)=cos31π6=cos(4π+7π6)=cos（π+π6）=-cosπ6=-32.法二cos（-31π6）=cos（-6π+5π6）=cos（π-π6）=-cosπ6=-32.(2)cos（-）;(3)tan(-765°).31π6(3)tan(-765°)=-tan765°=-tan(45°+2×360°)=-tan45°=-1.[备用例1]求下列各三角函数值:(1)sin163π;(2)cos(-765°);(3)tan(-750°).解:(1)sin16π3=sin（4π+4π3）=sin4π3=sin（π+π3）=-sinπ3=-32.(2)cos(-765°)=cos765°=cos(2×360°+45°)=cos45°=22.(3)tan(-750°)=-tan750°=-tan(2×360°+30°)=-tan30°=-33.题型二给值(式)求值[例2]已知cos（π6-α）=33,求cos（5π6+α）-sin2（α-π6）的值.解:因为cos（5π6+α）=cos[π-（π6-α）]=-cos(π6-α)=-33,sin2(α-π6)=sin2(π6-α)=1-cos2(π6-α)=23,所以cos(5π6+α)-sin2(α-π6)=-33-23=-233.方法技巧解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.变式训练2-1:本例中若条件不变,如何求sin2(5π6+α)-cos(α-π6)的值?解:因为cos(5π6+α)=cos[π-(π6-α)]=-cos(π6-α)=-33,所以sin2(5π6+α)=1-cos2(5π6+α)=1-(-33)2=23.又因为cos(α-π6)=cos[-(π6-α)]=cos(π6-α)=33,所以sin2(5π6+α)–cos(α-π6)=23-33=233.[备用例2]已知cos(α-75°)=-13,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.解:因为cos(α-75°)=-130,且α为第四象限角,所以α-75°是第三象限角.所以sin(α-75°)=-21cos75=-2113=-223.所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=223.解:cos(105°+α)=cos(180°+α-75°)=-cos(α-75°)=13.又由例题知sin(α-75°)=-223.所以tan(α-75°)=sin75cos75=22.因此tan(75°-α)=-tan(α-75°)=-22.所以cos(105°+α)+tan(75°-α)=13-22.互动探究:本例条件不变,求cos(105°+α)+tan(75°-α)的值.题型三利用诱导公式进行化简[例3]化简下列各式:(1)sin540costan180;解:(1)原式=sin360180costan180=sin180costan=sincossincos=-cos2α.(2)222cos4πcosπsin3πsin4πsin5π+cosπ+.解:(2)原式=222coscossinπsinsinπ+cosπ=222coscossinsinsincos=3222cossinsincos=-cosθ.方法技巧(1)进行三角函数式化简时:一是注意化异角为同角、化异名为同名、化异次为齐次即化异为同是关键;二是对“切弦混合”问题,一般作“切化弦”处理.(2)化简结果要求是:角尽量少,函数名尽量少,函数次数尽量低,尽量不含分母,若必须有分母时分母中尽量不含根式等.即时训练3-1:化简:12sin280cos440sin260cos800.解:原式=12sin36080cos36080sin18080cos72080=12sin80cos80sin80cos80=22sin80cos802sin80cos80sin80cos80=2sin80cos80sin80cos80=sin80cos80cos80sin80=sin80cos80cos80sin80=-1.[备用例3]化简:tan2πsin2πcos6πcosπsin5π.解:原式=sin2πsincoscos2πcosπsinπ=sinsincoscoscossin=sincos=-tanα.[例4]设k为整数,化简:sinπcos1πsin1πcosπkkkk.题型四易错辨析错解:原式=sincosπsinπcos=sincossincos=-1.纠错:解答本题出错的原因是对角中的参数k没有按照k=2n或k=2n+1两种情况进行讨论.正解:法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式=sin2πcos21πsin21πcos2πmmmm=sincosπsinπcos=sincossincos=-1;当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),仿上可得,原式=-1.法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),…cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α).故原式=sinπcosπsinπcosπkkkk=-1.课堂达标(A)-12(B)12(C)-32(D)32D解析:cos390°=cos30°=32.故选D.1.(2018·乐山市期末)cos390°的值为()2.计算:sinπ5+sin2π5+sin(2π-2π5)+sin(2π-π5)=.解析:原式=sinπ5+sin2π5+sin(-2π5)+sin(-π5)=sinπ5+sin2π5-sin2π5-sinπ5=0.答案:03.tan10°+tan1430°+sin1866°-sin(-654°)=.解析:原式=tan10°+tan(4×360°-10°)+sin(5×360°+66°)+sin(720°-66°)=tan10°+tan(-10°)+sin66°+sin(-66°)=tan10°-tan10°+sin66°-sin66°=0.答案:04.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sinα=14,则sinβ=.解析:由角α与角β的终边关于y轴对称,可知α+β=π+2kπ(k∈Z).所以β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sinβ=sinα=14.答案:14