2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱

第2课时三角函数的诱导公式(二)目标定位重点难点1.借助单位圆推导出诱导公式五、六2.掌握六组诱导公式并能灵活运用重点：诱导公式五、六难点：灵活应用诱导公式诱导公式五、六cosαsinα－sinα公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．想一想由诱导公式五、六可否推导出tanπ2＋α与tanα的关系？【解析】因为tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝1－sinαcosα＝－1tanα，所以tanπ2＋α＝－1tanα，即它们互为负倒数．2．(2019年北京海淀区模拟)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是()A．sinα＋π2B．cosα＋π2C．sin(π＋α)D．cos(π＋α)【答案】D3．(2018年吉林通化校级期末)如果sin(π－α)＝13，那么cosπ2＋α等于()A．－13B．13C．223D．－223【答案】A4．(2018年广东广州一模)已知sinα＋π2＝13，α∈－π2，0，则tanα＝______.【答案】－22给角(值)求值【例1】已知sin(π－α)sin(4π＋α)＝19，α∈5π2，3π，求sinα－3π2的值．【解题探究】直接利用诱导公式化简，利用同角三角函数的基本关系式求解即可．【解析】α∈5π2，3π，sin(π－α)sin(4π＋α)＝19，可得sinα＝13，sinα－3π2＝cosα＝－1－sin2α＝－223.【方法规律】角的转化方法(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．已知sinα＝55.(1)求cosα的值；(2)求cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值．【解析】(1)∵sinα＝55＞0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝255；当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－255.(2)原式＝－sin2α－sinαcosα＝tanα，当α是第一象限角时，tanα＝sinαcosα＝55255＝12；当α是第二象限角时，tanα＝sinαcosα＝55－255＝－12.利用诱导公式化简求值【例2】已知α是第三象限角，f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α－πtan－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若cosα－32π＝15，求f(α)的值；(3)若β＝－1860°，求f(β)的值．【解题探究】(1)f(α)利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果．(2)由已知等式求出sinα的值，代入计算即可求出f(α)的值．(3)把β度数代入计算即可求出f(β)的值．【解析】(1)f(α)＝sinα·cosα·－tanα－tanα·sinα＝cosα.(2)∵cosα－32π＝－sinα＝15，即sinα＝－15且α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，则f(α)＝cosα＝－265.(3)f(β)＝f(－1860°)＝cos(－1860°)＝cos1860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos60°＝12.【特别提醒】对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．已知函数f(x)＝sin－x＋π2cos3π2－xtanx＋5πtan－x－πsinx－3π.(1)化简f(x)；(2)求f－13π3的值．【解析】(1)f(x)＝cosx－sinxtanx－tanx－sinx＝－cosx.(2)f－13π3＝－cos－13π3＝－cos13π3＝－cos4π＋π3＝－cosπ3＝－12.一题多变【示例1】已知sinπ3－α＝12，求cosπ6＋α的值．【解析】∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴π6＋α＝π2－π3－α.∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.【题后反思】这是一个利用互余关系解题的问题，解决这类问题的关键是发现这种互余关系，常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，记住这些结论会给解题带来极大的方便．【示例2】(1)本例条件不变，如何求cos5π6－α的值？(2)本例条件若变为“已知sin2π3＋α＝12”，其他不变，则结果又如何？(3)本例条件若不变，如何求cos2π3＋α的值？(4)本例条件若不变，如何求tanπ3－α的值？【解析】(1)cos5π6－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12.(2)cosπ6＋α＝cos2π3＋α－π2＝cosπ2－2π3＋α＝sin2π3＋α＝12.(3)由于sinπ3－α＝12，所以cosπ3－α＝±32.所以cos2π3＋α＝cosπ－π3－α＝－cosπ3－α＝±32.(4)由于sinπ3－α＝12，所以cosπ3－α＝±32.所以tanπ3－α＝sinπ3－αcosπ3－α＝±33.1．对诱导公式五、六的理解公式五、六可以概括如下：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”．2．六组诱导公式的记忆六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的形式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B．12C．32D．－32【答案】A【解析】由已知，得sinα＝12，则cos7π2－α＝－sinα＝－12.2．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知α是第二象限角，若sinπ2－α＝－13，则sinα＝()A．－223B．－13C．13D．223【答案】D【解析】sinπ2－α＝cosα＝－13，又α是第二象限角，所以sinα＝1－cos2α＝223.故选D．3．化简sinπ－αcosπ2＋α＝________.【答案】－1【解析】sinπ－αcosπ2＋α＝sinα－sinα＝－1.4．已知sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，则tanα＝________.【答案】－2【解析】因为sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，即sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2.