2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 第1课时 诱导公式二、三、四课件 新人教A

1．3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四第一章三角函数考点学习目标核心素养诱导公式二、三、四理解诱导公式的推导方法逻辑推理诱导公式的应用能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明数学运算、逻辑推理第一章三角函数问题导学预习教材P23－P26，并思考下列问题：1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式的内容是什么？1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于______对称公式sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_______，tan(π＋α)＝_______原点－sinα－cosαtanα2.公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于_______对称公式sin(－α)＝_______，cos(－α)＝_______，tan(－α)＝－tanαx轴－sinαcosα3.公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于_______对称公式sin(π－α)＝_______，cos(π－α)＝_______，tan(π－α)＝_______y轴sinα－cosα－tanα■名师点拨诱导公式的记忆诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由诱导公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列式子中正确的是()A．sin(π－α)＝－sinαB．cos(π＋α)＝cosαC．cosα＝sinαD．sin(2π＋α)＝sinα答案：D已知tanα＝6，则tan(π－α)＝________．答案：－6cos120°＝________，sin－56π＝________．答案：－12－12利用公式求下列三角函数值：(1)cos476π；(2)tan(－855°)．(3)sin(－945°)＋cos(－296π)．(4)tan34π＋sin116π.给角求值问题【解】(1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos116π＝cos(2π－π6)＝cosπ6＝32.(2)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos－5π6＝－sin(180°＋45°)＋cosπ－π6＝sin45°－cosπ6＝22－32＝2－32.(4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tanπ4－sinπ6＝－1－12＝－32.利用诱导公式解决给角求值的步骤1．(2019·重庆一中期末检测)tan5π3＝()A．－3B.3C．－33D.33解析：选A.tan5π3＝tan(2π－π3)＝－tanπ3＝－3，故选A.2．求下列各三角函数值：(1)cos－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4.解：(1)cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.(2)tan(－765°)＝－tan765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan45°＝－1.(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4＝－sinπ3cosπ6tanπ4＝－32×32×1＝－34.化简下列各式．(1)tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）；(2)sin（1440°＋α）·cos（α－1080°）cos（－180°－α）·sin（－α－180°）.化简求值问题【解】(1)原式＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sinα（－sinα）cosαcosα（－cosα）sinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝sin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝sinα·cos（－α）（－cosα）·sinα＝cosα－cosα＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.化简cos（π＋α）·cos（2π＋α）sin（－α－π）·cos（－π－α）.解：原式＝－cosα·cosα－sin（π＋α）·cos（π＋α）＝－cos2α－sinαcosα＝1tanα.(1)若cos(2π－α)＝53且α∈－π2，0，则sin(π－α)＝()A．－53B．－23C．－13D．±23(2)已知cosπ6－α＝33，则cosα＋5π6＝________．给值(式)求值问题【解析】(1)因为cos(2π－α)＝cosα＝53，α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－23，则sin(π－α)＝sinα＝－23.(2)cosα＋5π6＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.【答案】(1)B(2)－331．[变设问]若本例(2)中的条件不变，如何求cosα－13π6？解：cosα－13π6＝cos136π－α＝cos2π＋π6－α＝cosπ6－α＝33.2．[变设问]若本例(2)中的条件不变，求cos56π＋α－sin2α－π6的值．解：因为cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos56π＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．若sin(π＋α)＝12，α∈π，3π2，则tan(π－α)等于()A．－12B．－32C．－3D．－33解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈π，3π2，所以cosα＝－1－sin2α＝－32.所以tanα＝sinαcosα＝13＝33.所以tan(π－α)＝－tanα＝－33.2．已知tan(π＋α)＝3，求2cos（π－α）－3sin（π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）的值．解：因为tan(π＋α)＝3，所以tanα＝3.故2cos（π－α）－3sin（π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα4－tanα＝－2＋3×34－3＝7.1．计算cos(－600°)＝()A.32B．－32C.12D．－12解析：选D.cos(－600°)＝cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于()A．－1213B.1213C．±1213D.512解析：选A.由cos(α－π)＝－513.得cosα＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.3．化简下列各式．(1)sin2（α＋π）cos（π＋α）tan（π－α）cos3（－α－π）tan（－α－2π）；(2)sin（540°＋α）·cos（－α）tan（α－180°）.解：(1)原式＝（－sinα）2·（－cosα）（－tanα）·（－cosα）3·（－tanα）＝－sin2αcosα－tan2α·cos3α＝1.(2)原式＝sin（360°＋180°＋α）·cosα－tan（180°－α）＝sin（180°＋α）·cosαtanα＝－sinα·cosαsinαcosα＝－cos2α.