2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教A版

考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系bb同角三角函数关系的应用bb知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin2π3＋cos2π4＝1.()(2)sinα2＋cosα2＝1.()(3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.()×××2．若α为第二象限角，且sinα＝23，则cosα＝()A．－53B.13C.53D．－13解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－53.答案：A3．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sinα0.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.答案：A4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1B．0C．1D．2解析：原式＝1＋sin2αcos2α·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：C类型一利用同角基本关系式求值例1(1)已知sinα＝15，求cosα，tanα；(2)已知tanα＝3，求3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α.(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．方法归纳求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．跟踪训练1(1)本例(2)条件变为sinα＋cosαsinα－cosα＝2，求3sinα－cosα2sinα＋3cosα的值；(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sinα·cosα－5cos2α的值．解析：(1)法一：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2得tanα＝3，原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝4sin2α－3sinα·cosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×9－3×3－59＋1＝115.形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．类型二化简三角函数式例2化简：(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°.【解析】(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα＝sinα1－sinα－sinα1＋sinα1＋sinα1－sinα＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝cos10°＋sin10°2cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos10°＋sin10°＝1.(1)利用同角基本关系化简．(2)注意1的活用．例如1＋2sin10°cos10°＝sin210°＋cos210°＋2sin210°cos10°＝(cos10°＋sin10°)2方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．跟踪训练2(1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)化简：sin2αtanα＋2sinαcosα＋cos2αtanα.解析：(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝sin2α·sinαcosα＋2sinαcosα＋cos2α·cosαsinα＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4αsinαcosα＝sin2α＋cos2α2sinαcosα＝1sinαcosα.(1)1－sin2130°＝cos2130°，1－2sin130°cos130°＝(sin130°－cos130°)2.(2)式子中的tanα应化为sinαcosα，如果出现分式，一般应通分．类型三利用同角三角函数关系证明例3求证：1－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.【证明】因为左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边，所以等式成立.左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．方法归纳证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练3求证：cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.证明：方法一因为右边分母为cosα，故可将左边分子分母同乘以cosα.左边＝cos2α1－sinαcosα＝1－sin2αcosα1－sinα＝1－sinα1＋sinαcosα1－sinα＝1＋sinαcosα＝右边．方法二因为左边分母是1－sinα，故可将右边分子分母同乘以1－sinα.右边＝1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝1－sin2αcosα1－sinα＝cos2αcosα1－sinα＝cosα1－sinα＝左边．方法三只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．因为左边＝cos2αcosα1－sinα，右边＝1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝1－sin2αcosα1－sinα＝cos2αcosα1－sinα，所以左边＝右边，原式成立．方法四只需证明左边－右边＝0即可．因为cosα1－sinα－1＋sinαcosα＝cos2α－1＋sinα1－sinαcosα1－sinα＝cos2α－1－sin2αcosα1－sinα＝cos2α－cos2αcosα1－sinα＝0，所以cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.方法五为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑出1＋sinα.左边＝cosα1－sinα＝cosα1＋sinα1－sinα1＋sinα＝cosα1＋sinα1－sin2α＝1＋sinαcosα＝右边．方法六证明内项积等于外项积．因为(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，1－sinα≠0，cosα≠0，所以cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.方法七利用分析法逐步寻求等式成立的条件．要证cosα1－sinα＝1＋sinαcosα成立，只需证cosαcosα＝(1－sinα)(1＋sinα)，即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，故cosα1－sinα＝1＋sinαcosα成立．状元随笔三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明ab＝cd，可证ad＝bc或证db＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．类型四sinα±cosα型求值例4已知sinα＋cosα＝13，其中0απ，求sinα－cosα的值．【解析】因为sinα＋cosα＝13，所以(sinα＋cosα)2＝19，可得：sinα·cosα＝－49.因为0απ，且sinα·cosα0，所以sinα0，cosα0.所以sinα－cosα0，又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝179，所以sinα－cosα＝173.sinθ＋cosθ＝15,两边平方→求出2sinθcosθ的值→求sinθ－cosθ的值方法归纳已知sinα±cosα的求值问题的方法对于已知sinα±cosα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：(1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他，如tanα(体现方程思想)．(2)利用sinα±cosα的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后求出sinα∓cosα的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sinα，cosα的值，再求其他．跟踪训练4已知x是第三象限角，且cosx－sinx＝55.(1)求cosx＋sinx的值；(2)求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值．解析：(1)(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝15，所以2sinxcosx＝45，所以(cosx＋sinx)2＝1＋2sinxcosx＝95，因为x是第三象限角，所以cosx＋sinx0，所以cosx＋sinx＝－355.(2)由cosx＋sinx＝－355，cosx－sinx＝55，解得cosx＝－55，sinx＝－255，所以2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝2×45－25＋15＝75.(1)把cosx－sinx＝55平方(2)注意x的范围(3)分别求出sinx、cosx