2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数课件 新人教A版必修4

1．2任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数第一章三角函数考点学习目标核心素养任意角的三角函数的定义理解任意角的三角函数的定义，会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理、数学运算诱导公式一掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算三角函数线会使用三角函数线表示三角函数值，理解三角函数线的画法及所表示的含义数学抽象、直观想象第一章三角函数问题导学预习教材P11－P17，并思考下列问题：1．任意角的三角函数的定义是什么？2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？3．诱导公式一是什么？4．三角函数线是如何定义的？1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____余弦____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____正切____叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝____(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数yyxxyxyx■名师点拨(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：______象限正，______象限负；余弦：______象限正，______象限负；正切：______象限正，______象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．一二三四一四二三一三二四3．公式一终边相同的角的同一三角函数的值______，即sin(α＋k·2π)＝______，cos(α＋k·2π)＝______，tan(α＋k·2π)＝______，其中k∈Z.此公式也被称为诱导公式一．相等sinαcosαtanα■名师点拨(1)诱导公式一的实质诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．(2)诱导公式一的作用利用诱导公式一可以把任意角的三角函数值化为0°～360°范围内与其终边相同的角的三角函数值(方法是先在0°～360°的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，最后得出结果)．4．三角函数线已知角α的终边位置(图中圆为单位圆)，则角α的三条三角函数线如图所示：则sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_____．MPOMAT■名师点拨三角函数线的方向正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα0，cosα≥0.()(2)三角函数线的长度等于三角函数值．()(3)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(4)对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义．()(5)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√已知角α的终边与单位圆的交点为P55，－255，则sinα＋cosα＝()A.55B．－55C.255D．－255解析：选B.因为sinα＝y＝－255，cosα＝x＝55，所以sinα＋cosα＝－255＋55＝－55.已知sinα＝35，cosα＝－45，则角α所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：Bsin780°＝________．cos9π4＝________．答案：3222(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P35，y(y0)，则tanα＝________．(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sinα，cosα的值．求任意角的三角函数值【解】(1)因为点P35，y(y0)在单位圆上，则925＋y2＝1，所以y＝－45，所以tanα＝－43.故填－43.(2)设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝2x，x2＋y2＝1，x≥0，解得x＝55，y＝255，即P55，255，所以sinα＝y＝255，cosα＝x＝55.1．[变条件]本例(2)中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y＝－34x(x≥0)”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由y＝－34x，x2＋y2＝1，得x2＋916x2＝1，即25x2＝16，即x＝45或x＝－45.因为x≥0，所以x＝45，从而y＝－35.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(45，－35)．所以sinα＝y＝－35，cosα＝x＝45，tanα＝yx＝－34.2．[变条件]本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α终边在第一象限内，解答过程同本例(2)．(2)若α终边在第三象限内，设点P(x，2x)(x＜0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝x2＋4x2＝－5x(x＜0)，所以sinα＝yr＝2x－5x＝－255，cosα＝xr＝x－5x＝－55.综上可知，sinα＝±255，cosα＝±55.已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点－35，45，则tanα的值为()A．－43B．－34C．－45D．－35解析：选A.因为点－35，45在单位圆上，所以tanα＝45－35＝－43.2．已知角α的终边经过P(－b，4)，且cosα＝－35，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．5解析：选A.由x＝－b，y＝4，得r＝b2＋16，所以cosα＝－bb2＋16＝－35，解得b＝3(b＝－3舍去)．3．已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，则2sinα＋cosα的值为________．解析：r＝（－3a）2＋（4a）2＝5|a|，若a0，则r＝5a，角α在第二象限．sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.答案：－1或1判断下列各式的符号：(1)tan120°sin269°；(2)cos4tan－23π4.三角函数值符号的判定【解】(1)因为120°角是第二象限角，所以tan120°0.因为269°角是第三象限角，所以sin269°0.所以tan120°sin269°0.(2)因为π43π2，所以4弧度角是第三象限角，所以cos40，因为－23π4＝－6π＋π4，所以－23π4是第一象限角，所以tan－23π40，所以cos4tan－23π40.正弦、余弦函数值的正负规律1．若－π2＜α＜0，则点(tanα，cosα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tanα＜0，cosα＞0，点在第二象限．2．(2019·安徽太和中学第一次教学质量检测)已知sinθcosθ0，且|cosθ|＝cosθ，则角θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选D.由|cosθ|＝cosθ，可知cosθ≥0，结合sinθcosθ0，得sinθ0，cosθ0，所以角θ是第四象限角，故选D.求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.诱导公式一的简单应用【解】(1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤1．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°.由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为－22，－22，所以sin225°＝－22.2．tan－23π6的值为()A.3B.33C.32D．1解析：选B.tan－23π6＝tan－4π＋π6＝tanπ6＝33.3．sin－11π6＋cos12π5·tan4π＝________．解析：原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.答案：12(1)函数y＝2sinα＋1的定义域为________．(2)比较sin25π，tan25π的大小．三角函数线的简单应用【解】(1)要使2sinα＋1有意义，则必须满足2sinα＋1≥0，即sinα≥－12，结合三角函数线(如图所示)知α的取值范围是－π6＋2kπ≤α≤7π6＋2kπ，k∈Z.故填－π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．(2)由图可知：tan25π0，sin25π0.因为|MP||AT|，所以sin25πtan25π.(1)应用三角函数线比较大小的策略①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．(2)利用三角函数线解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法对于sinα≥b，cosα≥a(sinα≤b，cosα≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．②正切型不等式的解法对于tanα≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合正切线可确定相应的范围．1．角π5和角6π5有相同的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定解析：选C.在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线(图略)可知它们的正弦线及余弦线都相反，而正切线相同．故选C.2．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是()A.－3π4，π4B.－π2，π2C.－π4，3π4D.[0，π]解析：选A.如图所示，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin－3π4＝cos－3π4，sinπ4＝cosπ4，为使sinx≤cosx成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x≤π4.1．若cosα＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是()A．23B．±23C．－22D．－23解析：选D.r＝x2＋22，由题意得xx2＋22＝－32，所以x＝－23.故选D.2．若角α是第三象限角，则点P(2，sinα)所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由α是第三象限角知，sinα0，因此