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考试标准课标要点学考要求高考要求任意角的概念aa终边相同的角的表示bb象限角的概念bb注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”．知识导图学法指导1.结合实例明确任意角的概念．2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限.1.角的概念角可以看成平面内________绕着端点从一个位置_____到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为________；终边：用OB表示，用语言可表示为________．一条射线旋转起始位置终止位置状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．3．角的分类类型定义图示正角按________方向旋转形成的角负角按________方向旋转形成的角零角一条射线_____作任何旋转，称它形成了一个零角逆时针顺时针没有4.象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与_____重合，角的始边与x轴的________重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与___________的和．原点非负半轴不属于整数个周角状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．()(2)第一象限的角一定是锐角．()(3)终边相同的角是相等的角．()×××2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2019°是第()象限角()A．一B．二C．三D．四解析：2019°＝360°×5＋219°，180°219°270°，∴2019°是第三象限角．答案：C类型一任意角的概念及应用例1(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】(1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°.【答案】(1)C(2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．分针1个小时转过的角度的绝对值是360°.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④类型二终边相同的角例2写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1080°范围内与75°角终边相同的角．【解析】与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β1080°，即360°≤k·360°＋75°1080°时，解得1924≤k21924.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1080°范围内的角为435°角和795°角.根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，写出与75°角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360°～1080°范围内的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α720°的元素写出来．(1)α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.∴S中满足－360°≤α720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.∴S中满足－360°≤α720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．类型三象限角与区间角的表示例3(1)若α是第四象限角，则－α一定在()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°αk·360°，k∈Z.所以－k·360°－α－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．【答案】(1)A(2)见解析依题意写出α的范围，再求－α的范围．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3已知α是第二象限角，则180°－α是()A.第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)．所以180°－(90°＋k·360°)180°－α180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，即90°－k·360°180°－α－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．答案：A定α的范围→定180°－α的范围→定180°－α是第几象限角