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第二课时平面与平面垂直的判定[学习目标]1.理解二面角的有关概念．2.会求简单的二面角的大小．3.掌握两平面垂直的判定定理.课前自主学习【主干自填】1．二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成，其中的都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的，这两个半平面叫作二面角的□01两部分□02每一部分□03两个半平面□04棱□05面．(3)二面角的记法．如图，记作：二面角.□06α－AB－β(4)二面角的平面角．以二面角的棱上为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是的二面角叫作直二面角．□07任一点□08垂直于棱□09直角如图二面角α－l－β，若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl，则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．□10∈□11□12□13⊥□14⊥2．两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理□15直二面角【即时小测】1．思考下列问题(1)如何用字母来记作二面角？提示：如图，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或P－l－Q.提示(2)判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其他的判定定理吗？提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”．提示a2．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②提示：B提示3．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β提示：B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．提示4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．提示：3平面PBC⊥平面PAC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面ABC.提示课堂互动探究例1如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.[证明]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.答案类题通法证明平面与平面垂直常用的两种方法(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2)证明二面角的平面角是直角．[变式训练1]在四面体A－BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，如图．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵△ABD是等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD.在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a.在△AEC中，AE＝CE＝22a.AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE.又BD∩CE＝E，∴AE⊥平面BCD.又AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.答案例2如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的正切值．[解]延长B1E和BA交于点F，连接DF，则DF是所求二面角的棱，∵E是AA1的中点，故B1E＝EF，从而AF＝AB＝CD，∴四边形FACD为平行四边形，∴DF∥CA.答案∵CA⊥BD，∴DF⊥DB.∵B1B⊥平面ABCD，∴BB1⊥DF，DF⊥平面BB1D，故B1D⊥DF.∴∠B1DB是所求二面角的平面角．∴在Rt△B1BD中，tan∠B1DB＝B1BBD＝22.故平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值为22.答案类题通法求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角．(2)证明这个角是二面角的平面角．(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．[变式训练2]如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD.由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC.∴SC⊥BE，∵DE∩BE＝E，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC.∵AC平面SAC，∴BD⊥AC.答案同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E—DB—C的平面角．设SA＝1，则SA＝AB＝1，而AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，∴SC＝2，在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°.∴二面角E－BD－C为60°.答案例3如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[证明](1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.答案(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.答案类题通法解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系，即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.[变式训练3]如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以EC⊥BC.又BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥BC，BD⊥BA.答案因为CE＝CA＝2BD，所以四边形DBCF是矩形，所以DF⊥CE.因为DF＝BC＝AB，EF＝BD，∠EFD＝∠DBA＝90°，所以△DEF≌△ADB，所以DE＝DA.答案(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊12EC，而DB綊12EC，所以MN綊DB，所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，BN平面ABC，所以EC⊥BN.因为△ABC是正三角形，点N为AC的中点，所以BN⊥AC.又AC∩EC＝C，所以BN⊥平面ACE.因为BN平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.答案(3)因为DM∥BN，BN⊥平面ACE，所以DM⊥平面ACE.又DM平面ADE，所以平面DEA⊥平面ECA.答案易错点⊳判断面面位置关系时依据图形直观得出[典例]如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？[错解]设AC与BD的交点为O，连接B1O，则B1O是截面ACB1与对角面BB1D1D的交线．因为B1O是底面的斜线，所以截面ACB1与底面不垂直，从而截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直．[错因分析]错解中由B1O与底面不垂直，就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直，这是没有根据的．[正解]因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为BB1⊥底面ABCD，所以AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，故AC⊥对角面BB1D1D.又AC截面ACB1，所以截面ACB1⊥对角面BB1D1D.答案课堂小结1.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.3.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，nβ⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.随堂巩固训练1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－C的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B答案解析易知AB⊥AD，AB⊥AD1，所以∠D1AD就是二面角D1－AB－C的平面角，显然∠D1AD＝45°，所以二面角D1－AB－C的大小是45°.解析2．在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，则必有()A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BCD答案C解析因为AD⊥BC，BD⊥AD，BD∩BC＝B，所以AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，所以平面BCD⊥平面ADC.故选C.答案解析3．直线l⊥平面α，l平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案C解析根据面面垂直的判定定理可知C正确．答案解析4．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥βD．m∥α，m⊥β答案D解析选择适合条件的几何图形观察可得，A中α与β相交或平行；B中α，β相交，但不一定垂直；C中α∥β或α与β相交．答案解析