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课后课时精练时间：25分钟1．下列说法中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案C答案解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由平面与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．解析2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A解析根据面面垂直的判定定理进行判断．对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即lα，l⊥β，如果这两个条件存在，则α⊥β.故选A.答案解析3．如图所示，四边形ABCD为正方形，直线PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有()A．3对B．4对C．5对D．6对答案C解析互相垂直的平面有：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PCD.共5对．答案解析4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定答案B答案解析由PB⊥α，得PB⊥AC，又PC⊥AC，且PB∩PC＝P，故AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，则△ABC为直角三角形．解析5．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不正确的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案C答案解析如下图所示，∵正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴BC∥DF，解析∴BC∥平面PDF.故A正确．由题可知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE.故B正确．∵BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．解析6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④答案A答案解析易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.因此选A.解析7．在正四棱锥V－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为5，则二面角V－AB－C的大小为________．答案60°答案解析连接AC，BD交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD，取AB的中点E，连接VE，OE，则VE⊥AB，OE⊥AB，所以∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．由题意，知OE＝1，VE＝2，所以∠VEO＝60°.解析8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列说法：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若aα，bβ，cβ，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，bβ，a∥b，则α⊥β.其中正确的说法是________(填序号)．答案③答案解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．解析9．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．答案60°答案解析如下图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°.设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝2a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°.解析10．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊆/平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.答案(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.答案(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.答案由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.答案