2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质课件 北师

预习课本P39～41，思考并完成以下问题6．2垂直关系的性质(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？一、预习教材·问题导入1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线．(2)图形语言：(3)符号语言：⇒a∥b.(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．平行a⊥αb⊥α二、归纳总结·核心必记[点睛]剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．平面和平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_____于它们的直线于另一个平面．(2)图形语言：(3)符号语言：⇒a⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒垂直；②作面的垂线．垂直交线垂直α⊥βα∩β＝laαa⊥l线面[点睛]对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a和直线c，a⊥α，若c∥a，则c⊥α.()(2)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面．()(3)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．()(4)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直．()√√××三、基本技能·素养培优2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．bαC．b⊥αD．b与α相交3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能答案：C答案：D4．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面答案：C[典例]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.考点一直线与平面垂直的性质及应用证明线线平行的五种方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[类题通法][针对训练]如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.[典例]如图，已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.考点二面面垂直性质定理的应用[证明]如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC.BC平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC平面PAC，∴BC⊥AC.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．[类题通法][针对训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥平面ABE.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.考点三垂直关系的综合应用[典例]如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[类题通法][针对训练]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．解：(1)证明：连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)所示G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.