2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 6 垂直关系 6.1 第二课时 平面与平面垂直

预习课本P37～39，思考并完成以下问题第二课时平面与平面垂直的判定(1)二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？(2)平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？一、预习教材·问题导入1．二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成，其中的都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角，叫作二面角的棱，这叫做二面角的面．(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作：二面角面α­AB­β.两部分每一部分两个半平面这条直线两个半平面二、归纳总结·核心必记(4)二面角的平面角：以二面角的棱上为端点，在两个半平面内分别作__________的两条射线OA，OB，则这两条射线所成的角∠AOB叫作二面角的平面角．(5)直二面角：的二面角叫作直二面角．(6)二面角θ的取值范围为.任一点O[点睛](1)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°；(2)二面角的大小为90°时，两个平面互相垂直．(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.垂直于棱l平面角是直角0°≤θ≤180°2．两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．3．两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图所示(3)符合语言：a⊥β⇒α⊥β.直二面角垂线aα[点睛]对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.()(3)若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b.()√√×三、基本技能·素养培优2．在二面角α­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AOα，BOβB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AOα，BOβD．AO⊥l，BO⊥l，且答案：D3．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，二面角D′­AB­D的大小为________．答案：45°[典例]如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.考点一直线与平面垂直关系的判断[证明][法一利用定义证明]因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，设其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.[法二利用判定定理证明]因为SA＝SB＝SC，且证明∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.(1)证明平面与平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[类题通法][针对训练]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明：取AD的中点O，连接OE，OC，CA.∵∠ABC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD⊥OC.又AD⊥CE，OC∩CE＝C，OC平面COE，CE平面COE，∴AD⊥平面COE.∵OE平面COE，∴AD⊥OE.又OE∥PD，∴AD⊥PD.∵∠PDC＝90°，∴PD⊥DC.∵AD∩DC＝D，AD平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又PD平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.[典例]如图，三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，试画出二面角V­AB­C的平面角，并求它的大小．考点二二面角的求法[解]如图，取AB的中点D，连VD，CD.∵VA＝VB＝AC＝BC，∴VD⊥AB，CD⊥AB.∴∠VDC就是二面角V­AB­C的平面角．在△VAB中，∵VA＝VB＝2，AB＝23，∴VD＝1.同理CD＝1.又VC＝1，∴△VCD为等边三角形∴∠VDC＝60°.即二面角V­AB­C的平面角的大小是60°.求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．[类题通法][针对训练]如图，已知Rt△ABC，斜边BCα，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小．解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO⊥α，BCα，∴AO⊥BC.又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A­BC­O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，∴AO＝a，AC＝2a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝6a，∴AD＝AB·ACBC＝2a·2a6a＝233a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD＝a233a＝32.∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­O的大小是60°.考点三线面、面面垂直的综合问题[典例]如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：(1)平面AEF⊥平面PBC；(2)PB⊥EF.[证明](1)∵AB是⊙O的直径，C在圆上，∴AC⊥BC.又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴PB⊥EF.线线、线面、面面垂直的相互转化解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化的关系，即线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．[类题通法][针对训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵BD∩PD＝D，且PD，BD平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.