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4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)[学习目标]1.理解空间中点、线、面的位置关系．2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念．3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题．4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.课前自主学习【主干自填】1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.□01上□02外□03内□04外3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．□05公共点□06一个□07任何一个4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.□08无数□09一个□10公共点5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．□11公共点□12公共点□13不在同一条直线上7．公理1的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．□14直线外一点□15相交□16平行8．公理2如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．9．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．□17两点□18不重合【即时小测】1．思考下列问题(1)照相机支架只有三个脚支撑，为什么？提示：不在同一直线上的三点确定一个平面．提示(2)教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？提示：这些公共点在同一直线上．提示(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？提示：平行．提示2．下列表述中正确的是()A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形提示：B因为三点不共线时确定一个平面，故A错．C中A、B、C、D四点可在α与β的交线上．D显然错误．故选B.提示3．若点M在直线a上，且a在平面α内，则M，α间的关系为________．提示：M∈α提示课堂互动探究例1(1)已知α，β是两个不同的平面，a，b，l是三条不同的直线，若aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，lβ，那么α与β的位置关系是________．(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？[解析](1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2，lα，又lβ，则α∩β＝l.解析[答案](1)相交(2)见解析(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直线．答案解析类题通法1判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断.2对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件.“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交.[变式训练1](1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是()A．4B．6C．8D．10答案C解析解法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．解法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共面，其余8条棱都与EF异面．答案解析(2)已知a，b，c是三条不同的直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．答案例2如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交，求证：a，b，c三线共面．[证明]∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．答案类题通法证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．[变式训练2]已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明证法一：如图，∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线lα，∴a，b，l共面．答案即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则bα.同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．∴a，b，c，l共面．证法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，又∵A∈a，B∈b，∴ABα，即lα.∵c∥b，∴c，b确定一个平面β，而B∈b，C∈c，∴BCβ，即lβ.∴b，lα，b，lβ，而b∩l＝B，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面.答案例3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P、Q、R三点共线．[证明]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．答案证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．答案类题通法证明点共线问题的方法证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．[变式训练3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.答案例4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[证明]如图，α∩β＝l1，答案β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.答案类题通法证明三线共点的方法证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．[变式训练4]已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．∵E，F不与A′，B重合，∴EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.答案又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.答案易错点⊳公理及推论的应用中忽略重要条件[典例]已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因分析]在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到，B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．答案课堂小结1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系.2.公理1,2,3是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结.公理1的主要作用是论证共面问题；公理2的主要作用是判断直线是否在平面内；公理3是判断两平面是否相交的重要依据.随堂巩固训练1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点答案C解析由公理1知：不共线的三点确定一个平面，而三角形的三个顶点一定不共线，故三角形可以确定一个平面．答案解析2．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条答案D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．答案解析3．若a表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是()①直线a在平面α内，即a与α有无数个公共点；②直线a不在平面α内，即直线a与α有一个公共点；③直线a不在平面α内，即直线a与α没有公共点；④a与α的关系可分为a在α内或a不在α内．A．①②B．①③C．①④D．②③答案C解析直线a不在平面α内，即直线a与α平行或相交，无公共点或有一个公共点，故②③错误，显然①④正确．答案解析4．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．答案0答案解析命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.解析