2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步 4 空间图形的基本关系与公理 第二课时 公理4

预习课本P25～27，思考并完成以下问题(1)公理4的内容是什么？(2)等角定理的内容是什么？有什么作用？(3)异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？第二课时公理4及等角定理一、预习教材·问题导入1．公理4(1)文字语言：平行于的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内．记法：直线m与直线n平行，记作.同一条直线a∥cm∥n没有公共点二、归纳总结·核心必记②相交直线特征：在同一平面内公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作.(2)异面直线：特征：的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应，这两个角．有且只有一个m∩n＝A不共面平行相等或互补[点睛](1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．4．异面直线所成的角前提两条异面直线a，b作法过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2定义结论这两条相交直线所成的______________即为异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则特殊情况当θ＝时，a与b互相垂直，记作0°＜θ≤90°90°a⊥b锐角(或直角)[点睛]对异面直线所成角的两点说明(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定义的，是研究空间两条直线位置关系的基础．(2)等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了理论依据，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中不相交的两条直线是异面直线．()(2)两条异面直线所成的角一定是锐角．()(3)和两条异面都相交的两直线必是异面直线．()×××三、基本技能·素养培优2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°答案：D3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°[典例]如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.考点一公理4及等角定理的应用[证明]因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′，所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.1．证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．[类题通法][针对训练]1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．证明：如图所示，连接A′C′，∵M，N分别是A′D′，D′C′的中点，∴MN∥A′C′且MN＝12A′C′.由正方体的性质可知：A′C′∥AC，且A′C′＝AC，∴MN∥AC，且MN＝12AC，∴四边形MNCA是梯形．2．将本例变为：已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠BEC＝∠B1E1C1.证明：如图所示，连接EE1.因为E，E1分别是AD，A1D1的中点，所以AE∥A1E1，且AE＝A1E1.所以四边形AEE1A1是平行四边形．所以AA1∥EE1，且AA1＝EE1.又因为AA1∥BB1，且EE1＝BB1.所以四边形BEE1B1是平行四边形．所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.[典例]如图所示，已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．[解]如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝12AB；PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．考点二异面直线及所成的角因为直线AB与CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN，(1)若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.(2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°.[类题通法][针对训练]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是________．解析：如图，连接EG，GB1，可得A1B1綊EG，所以四边形A1B1GE为平行四边形，所以A1E∥B1G，连接FB1，则∠FGB1就是异面直线所成的角．因为FB1＝5，GB1＝2，FG＝CG2＋CF2＝1＋1＋1＝3，所以FB21＝FG2＋GB21，即∠FGB1＝90°.答案：90°