2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图课件 新人教A版必

1.2.3空间几何体的直观图目标导航课标要求1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.素养达成通过对斜二测画法的学习,进一步提升学生的空间想象能力和直观感受.新知导学·素养养成1.用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中,平行于y轴的线段,.平行保持原长度不变长度变为原来的一半2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可.(2)画z′轴,z′轴过点O′,且与x′轴的夹角为90°,并画出(与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图.(3)擦去辅助线,用虚线表示.高线被遮线名师点津(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线长减半,直角画45°(或135°).课堂探究·素养提升题型一水平放置的平面图形的直观图[例1]画水平放置的直角梯形的直观图,如图所示.解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图①②所示.(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=12OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接B′C′,如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图.如图③.方法技巧在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.建立平面直角坐标系.即时训练1-1:用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.解:(2)画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.在x′轴上截取O′B′=O′C′=OB=OC=2cm,在y′轴上取O′A′=12OA,连接A′B′,A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图②所示.[备用例1]如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.解:画法:(1)如图②,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;(2)在图①中,过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于D′,在图②中,在x轴上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A′B′C′原来的图形,如图②.题型二空间几何体的直观图[例2]如图所示,由下列几何体的三视图画出它的直观图.解:(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高.(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分为虚线,如图②所示.方法技巧(1)画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可.(2)直观图画法口诀可以总结为:“横不变、纵折半、平行性不改变”.即时训练2-1:由如图所示几何体的三视图画出直观图.解:(1)画轴.如图,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′,BB′,CC′,且AA′=BB′=CC′.(侧视图中矩形的高)(4)成图,顺次连接A′,B′,C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.[备用例2]1.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.解:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.2.已知某几何体的三视图如图,请画出它的直观图(单位:cm).解:画法:题型三直观图的还原与计算[例3](10分)如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.规范解答:设O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′=CB,O′A′=OA.………………………………2分过C′作C′D⊥O′A′于D,则C′D=22h.………………………………………4分由题意知12C′D(C′B′+O′A′)=S,………………………6分即24h(C′B′+O′A′)=S.所以原直角梯形面积为S′=12·2h(CB+OA)=h(C′B′+O′A′)=42S=22S.…………………………………………9分所以梯形OABC的面积为22S.……………………10分变式探究:如例题图所示,若在O′A′上取点D′,且梯形A′B′C′D′的面积是S,求梯形ABCD的面积.解:设O′C′=h,画出原图如图所示则OC=2h,AD=A′D′,BC=B′C′.则S梯形ABCD=(BC+AD)·OC·12=h(BC+AD),而S梯形A′B′C′D′=12(B′C′+A′D′)·22h=24h(BC+AD)=S,所以S梯形ABCD=22S.方法技巧(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,再利用公式求解.(3)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S=22S′.即时训练3-1:等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.解析:在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,所以高DE=1,根据斜二测画法的规则可知,A′B′=AB=3,D′C′=DC=1,O′D′=12DE=12,直观图中的高D′F′=O′D′sin45°=12×22=24,所以直观图A′B′C′D′的面积为132×24=22.答案:22[备用例3]水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为.解析:由于在直观图中∠A′C′B′=45°,则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AB边上的中线为2.5.答案:2.5题型四易错辨析——平面图形直观图还原问题的易错点[例4]一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O′A′B′C′的面积为2,则原梯形的面积为()(A)2(B)2(C)22(D)4错解:设直观图中梯形的高为h′,原梯形的高为h.则h=2h′,依题意2OABCh=2,所以原梯形面积为S=2OABCh=22OABCh=22.故选C.纠错:此解法的错误之处在于认为原图形的高与直观图中的高为2倍关系.正解:如图,由斜二测画法知,原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍,OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍.由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍,故其面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍,梯形O′A′B′C′的面积为2,所以原梯形的面积是4.故选D.学霸经验分享区(1)原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中O′C′的长度的2倍,OC′长度是直观图中梯形的高的2倍,此处易出错.(2)解答此类问题时一定要画出原图形,注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积S′与原图形面积S满足S′=24S.课堂达标解析:先按照斜二测画法把直观图还原为原来的平面图形,然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把三角形ABC还原后为直角三角形,则D为斜边AC的点,所以AD=DC=BD.故选C.1.如图所示的是水平放置的三角形ABC在平面直角坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,在原三角形ABC中,∠ACB≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有()(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条C2.关于斜二测画法,下列说法不正确的是()(A)原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变(B)原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的12(C)在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45°(D)在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同C解析:因为B′C′∥x′轴,A′C′∥y′轴,所以平面图中也一定有两边与坐标轴平行,所以△A′B′C′的直观图是一个直角三角形.3.如图,B′C′∥x′轴,A′C′∥y′轴,则直观图所表示的平面图形是()(A)正三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形D4.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为.解析:画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为22.答案:225.已知△ABC的直观图如图所示,则原△ABC的面积为.解析:由题意,易知在△ABC中,AC⊥AB,且AC=6,AB=3.所以S△ABC=12×6×3=9.答案:9