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1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图目标导航课标要求1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.素养达成通过对三视图的学习,提升学生的空间想象能力和抽象概括能力.新知导学·素养养成1.投影的定义由于光的照射,在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的,这种现象叫做投影.其中,把叫做投影线,把的屏幕叫做投影面.2.中心投影与平行投影不透明影子光线留下物体影子投影定义特征分类中心投影光由向外散射形成的投影投影线.平行投影在一束照射下形成的投影投影线.和.一点交于一点平行光线互相平行正投影斜投影3.三视图前面三视图概念规律正视图光线从几何体的向.正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图一样,正视图和俯视图一样,侧视图与俯视图一样侧视图光线从几何体的向正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的向正投影得到的投影图后面左面右面上面下面高度长度宽度名师点津(1)平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.(2)三视图中的每种视图都是正投影.在画三视图时,应把侧视图画在正视图的右侧,俯视图画在正视图的下方.课堂探究·素养提升题型一中心投影与平行投影[例1]下列说法中:①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,直线还是直线,但平行线可能变成了相交的直线;③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确说法的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:由平行投影和中心投影的定义可知①正确;空间图形经过中心投影后,直线可能变成直线,也可能变成一个点,如当投影中心在直线上时,投影为点;平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点,②不正确;两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线;③不正确.故选B.方法技巧画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影.即时训练1-1:如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是(填出所有可能的序号).解析:在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①.答案:①②③[备用例1]如图,E,F分别为正方体的平面ADD1A1,平面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是.(把可能的序号都填上)解析:四边形BFD1E在平面BCC1B1或平面ADD1A1上的射影应是E与F重合,D1与C1重合,A与B重合,所以③正确;在下底面射影是B1与B重合,D1与D重合,E,F的射影分别为AD与BC的中点,所以②正确.在前后两面的射影也是②.答案:②③题型二几何体的三视图[例2]画出下列几何体的三视图.解:三视图如图(1)(2)所示.方法技巧三视图的画法规则(1)排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.(2)画法规则:①正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”;②侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”;③俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”.(3)线条的规则:①能看见的轮廓线用实线表示;②不能看见的轮廓线用虚线表示.即时训练2-1:(2018·南关区校级期末)一个长方体去掉一角的直观图如图中所示,关于它的三视图,下列画法正确的是()解析:由于几何体被切去一个角,所以正视图、俯视图的矩形都有斜线;斜线的位置,如图A在正视图中是正确的;B,C,D中的3个视图不满足题意;故选A.[备用例2]1.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的正视图是边长为4的正方形,则此正三棱柱的侧视图的面积为()(A)83(B)43(C)23(D)16解析:由正视图可知三棱柱的高为4,底面边长为4,所以底面正三角形的高为23,所以侧视图的面积为4×23=83.故选A.2.如图是截去一角的长方体,画出它的三视图.解:物体三个视图的构成都是矩形,长方体截去一角后,截面是一个三角形,在每个视图中反映为不同的三角形,三视图如图.题型三由三视图还原几何体[例3]如图所示的三视图表示的几何体是什么?画出物体的形状.(1)解:(1)该三视图表示的是一个四棱台,如图.(2)解:(2)该几何体是正六棱锥.如图.(3)解:(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体,结合侧视图和正视图,可知该几何体上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,所以该几何体的形状如图所示.方法技巧由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.只要熟悉简单几何体的三视图的形状,由简单几何体的三视图还原几何体并不困难.对于组合体,需要依据三视图将它分几部分考虑,确定它是由哪些简单几何体组成的,然后利用上面的步骤,分开还原,再合并即可.注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线.即时训练3-1:(1)(2018·唐山高二期末)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何体可能是()(A)圆柱(B)三棱柱(C)圆锥(D)球体解析:(1)一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,说明几何体是圆锥,故选C.(2)(2018·平顶山高二期末)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()(A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥(D)四棱柱解析:(2)如图,几何体为三棱柱.故选B.[备用例3](2018·延安市高二期末)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为()(A)22(B)23(C)5(D)3解析:由三视图知,几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个正方形,边长是2,四棱锥的一条侧棱和底面垂直,且这条侧棱长是2,这样在所有的棱中,连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱最长,长度是222222=23,故选B.课堂达标解析:当直线与平面垂直时,其正投影为点,其他位置时其正投影均为直线,故选D.1.一条直线在平面上的正投影是()(A)直线(B)点(C)线段(D)直线或点D解析:由三视图知D正确.故选D.2.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体的直观图是()D解析:由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样,可知C不可能是该锥体的俯视图,故选C.3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是()C4.水平放置的下列几何体,正视图是长方形的是(填序号).解析:①③④的正视图为长方形,②的正视图为等腰三角形.答案:①③④解析:三角形的投影是线段或三角形;直线的投影是点或直线;平行四边形的投影是线段或平行四边形;四面体的投影是三角形或四边形;球的投影是圆.答案:②④⑤5.下列图形:①三角形;②直线;③平行四边形;④四面体;⑤球.其中投影不可能是线段的是.