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知识点一旋转体名称定义相关概念图形表示法圆柱以__________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的______叫作圆柱轴：______叫作圆柱的轴；底面：________的边旋转而成的____叫作圆柱的底面；侧面：________的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面；母线：无论旋转到什么位置，__________的边都叫作圆柱侧面的母线图中圆柱表示为________矩形的一边旋转体旋转轴垂直于轴圆面平行于轴不垂直于轴圆柱O′O圆锥以直角三角形的___________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作____轴：______叫作圆锥的轴；底面：________的边旋转而成的____叫作圆锥的底面；侧面：直角三角形的____旋转而成的____叫作圆锥的侧面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆锥侧面的母线图中圆锥表示为__________一条直角边圆锥旋转轴垂直于轴圆面斜边曲面圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与____之间的部分叫作____与圆柱和圆锥一样，圆台也有____、____、____、____图中圆台表示为____________截面圆台轴底面侧面母线圆台O′O球以半圆的____所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，简称球球心：____________叫作球的球心；半径：____________叫作球的半径；直径：____________叫作球的直径图中的球表示为____直径半圆的圆心半圆的半径半圆的直径球O1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．2．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点二简单组合体1．简单组合体的定义由____________组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体____而成；(2)由简单几何体____________________而成．要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．简单几何体拼接截去或挖去一部分[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．()(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()××√×2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的侧面展开图是一个扇形C．圆台的侧面展开图是一个梯形D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径解析：圆台的侧面展开图是一个扇环，其余的A、B、D都正确．答案：C3．如图所示，其中为圆柱体的是()解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.答案：C4．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________.解析：连接OS，OA，在Rt△OSA中，OA＝4，所以h＝SA2－OA2＝52－42＝3.答案：3类型一旋转体的结构特征例1给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．【解析】(1)正确，圆柱的底面是圆面．(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．【答案】(1)(2)旋转体的判断⇒旋转体的结构特征．方法归纳1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解析：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．由圆锥、圆台、球的定义来判断．类型二简单组合体例2观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)几何体①是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，使得旋转该图形180°后得到几何体①.(2)几何体②的结构特点是什么？试画出几何图形，使得旋转该图形360°得到几何体②.(3)几何体③是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．【解析】(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如图(b)360°得到几何体②.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．方法归纳1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如几何体③所示的组合体有9个面、9个顶点、16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“拆分”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．跟踪训练2下列组合体是由哪些几何体组成的？解析：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．利用圆柱、圆台、圆锥、球的结构特征来判断几何体的组合情况．类型三旋转体的侧面展开图例3如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，∴蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.圆柱的展开图是矩形，利用平面图形的知识来解．方法归纳解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：跟踪训练3若例3中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.对比例3转两圈对应两个矩形．