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1.1空间几何体的结构目标定位重点难点1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体和旋转体——棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征解决简单多面体和旋转体的有关计算．重点：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．难点：对棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义的理解和判断.1．空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__________叫做空间几何体．形状大小空间图形(2)多面体与旋转体多面体：由若干个____________围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点．旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．平面多边形面公共边公共点2．几种常见的多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相______，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_____，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相_____的面；侧面：__________；侧棱：相邻侧面的________；顶点：侧面与底面的__________．平行四边形平行平行其余各面公共边公共顶点多面体定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．如图可记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个________；侧棱：相邻侧面的________；顶点：各侧面的________．多边形三角形三角形面公共边公共顶点多面体定义图形及表示相关概念棱台用一个平行于________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的________；下底面：原棱锥的________；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.棱锥底面截面底面3．旋转体的结构特征旋转体结构特征图形表示圆柱以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；________于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；________于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为________．矩形的一边垂直平行不垂直圆柱OO′旋转体结构特征图形表示圆锥以________________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为________．圆台用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为________．直角三角形的一条直角边圆锥SO圆锥底面圆台OO′旋转体结构特征图形表示球以半圆的直径所在直线为旋转轴，__________旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用球心字母进行表示，左图可表示为______.半圆面球心球O4．简单组合体(1)概念：由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体________而成，另一种是由简单几何体________或________一部分而成．简单几何体拼接截去挖去1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．()(2)用平面去截圆锥，会得到一个圆锥和一个圆台．()(3)用直角三角形的一条边旋转就可得到一个圆锥．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)(1)棱锥至少由________个面围成．(2)下列几个命题：①棱柱的底面一定是平行四边形；②棱锥的底面一定是三角形；③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．其中正确的是________．(填序号)【答案】(1)4(2)③3．思一思：用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？【解析】不一定，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得到棱台．【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中说法正确的序号是________．多面体的结构特征【解题探究】棱柱定义中的三个要点是什么？棱柱的面、顶点、棱是怎样定义的？【答案】(3)(4)【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义可知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4).81．棱柱的结构特征(1)两个面互相平行且全等．(2)其余各面是四边形．(3)相邻两个四边形的公共边互相平行．2．判断棱锥、棱台形状的2个方法(1)举反例法：结合定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：形状棱锥棱台定底面选择一个与其他各面都相交的面，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点1．下列关于棱锥、棱台的说法：(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(2)棱锥的侧面只能是三角形；(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(2)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．【例2】(1)下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线旋转体的结构特征(2)下列说法错误的有________．(填序号)①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；③到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解题探究】(1)由旋转体的结构特征判断．(2)根据圆锥、圆台、球的结构特征，对每一个说法逐一判断．【答案】(1)C(2)①②③【解析】(1)圆锥是绕直角三角形的直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确．夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．(2)①错，只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台．②错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．③错，应为球面．【解析】(1)圆锥是绕直角三角形的直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确．夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．(2)①错，只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台．②错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．③错，应为球面．81．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．2．以下命题正确的是()A．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】对于A，这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，A错；对于B，这条腰必须是垂直于两底的腰，B错；对于D，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行，D错．【解析】(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．【例3】观察下图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组合而成的．简单组合体及几何体侧面展开图①②【解题探究】对简单组合体分割或填补，变成简单几何体的组合，然后再下结论．【解析】①是由一个球、一个四棱台和一个长方体拼接而成的组合体．②是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去一个圆柱而组成的一个组合体．81．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．2．求几何体表面上两点间距离的步骤(1)将几何体沿着某条棱(母线)展开，画出其侧面展开图．(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题．(3)结合已知条件求得结果．3．如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？【解析】将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形，则A1B1＝12·2πr＝πr＝10π(cm)．过点Q作QS⊥AA1于点S.在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．∴蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1cm.【示例】有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？【错解】一定是棱柱．对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不透【错因】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体可能不是棱柱.【正解】满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但不是棱柱．【警示】在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．1．棱柱、棱锥、棱台的关系．在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．3．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．4．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．5．处理组合体问题常采用分割思想．6．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．1．下列几何体是台体的是()ABCD【答案】D【解析】台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行，C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．2．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是()A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】根据旋转体的结构特征易知选C．3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．①②B．①③C．①④D