2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形章末小结与测评课件 新人教A版必修5

章末小结与测评解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．[典例1]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝b×sinAsinB＝1＋3.由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b×sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.[对点训练]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面积S＝103，c＝7.(1)求角C;(2)求a，b的值．解：(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)．∴2sinAcosC＝sinA.∵A∈(0，π)，∴sinA≠0.∴cosC＝12.∴C＝π3.(2)由S＝12absinC＝103，C＝π3，得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2ab1＋cosπ3，∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12.∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：(1)在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB；A＝B⇔a＝b⇔sinA＝sinB⇔cosA＝cosB.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2.(3)在△ABC中，a2＋b2c2⇔cosC0⇔π2Cπ；a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝π2；a2＋b2c2⇔cosC0⇔0Cπ2.[典例2]在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC．展开整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0C120°，∴C＋30°＝90°.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．[对点训练]2．在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．解：由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，得cosCcosB＝bc.可有以下两种解法．法一：利用正弦定理，将边化角．由正弦定理得bc＝sinBsinC，∴cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：利用余弦定理，将角化边．∵bc＝cosCcosB，∴由余弦定理得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．[典例3]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且ac，已知，cosB＝13，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由，得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝32＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因a＝bc，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.[对点训练]3．△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1213.(1)(2)若c－b＝1，求a的值．解：(1)在△ABC中，cosA＝1213，∴A为锐角且sinA＝513，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc·513＝30.∴bc＝156.＝bccosA＝156×1213＝144.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×113＝25，∴a＝25＝5.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．[典例4]如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交送给这辆汽车的司机．(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角；(3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要多长时间？解：(1)如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇．在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300.设∠BAC＝α，则sinα＝35，cosα＝45，整理得，v2＝250000t2－80000t＋10000＝2500001t2－825·1t＋4252＋10000－10000×1625＝2500001t－4252＋3600.当1t＝425，即t＝254时，v2min＝3600，vmin＝60.即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中．(2)当v＝60km/h时，在△ABC中，AB＝500，AC＝100×254＝625，BC＝60×254＝375，由余弦定理cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝0，∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶．(3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行驶，t小时后与汽车在E处相遇．在△ABE中，AB＝500，AE＝100t，BE＝75t，cos∠BAE＝45.由余弦定理(75t)2＝5002＋(100t)2－2×500×100t×45，整理得t＝4或t＝1007(舍)，当t＝4时，AE＝400，BE＝300，AB2＝AE2＋BE2，所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把稿件交到司机手中，最快需要4h.[对点训练]4．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．解：法一：设该扇形的半径为r米．由题意，得CD＝500米，DA＝300米，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×12＝r2，解得r＝490011≈445(米)．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于点H.由题意，得CD＝500米，AD＝300米，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC＝700(米)．cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝1114.在Rt△HAO中，AH＝12AC＝350(米)，cos∠HAO＝1114，∴OA＝AHcos∠HAO＝490011≈445(米).