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章末归纳整合函数的思想就是运用变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系．在具体问题中把变量之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．本章中主要借助二次函数来研究距离和速度的最值问题．方程的思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正弦定理、余弦定理在一定条件下都可以看作方程，从而求出所需要的量．函数与方程思想【例1】要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙处测得电视塔顶的仰角分别是45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是()A．1002米B．400米C．2003米D．500米【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】设电视塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3hm，在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3h2＝h2＋5002－2h·500·cos120°，解得h＝500.故选D．(2019年河北邢台模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋32c＝b，若a＝1，3c－2b＝1，则角B为()A．π4B．π6C．π3D．π12【答案】B【解析】因为acosC＋32c＝b，所以sinAcosC＋32sinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以32sinC＝cosAsinC．因为sinC≠0，所以cosA＝32.因为A为△ABC的内角，所以A＝π6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，知1＝b2＋c2－3bc，联立1＝b2＋c2－3bc，3c－2b＝1，解得c＝3，b＝1.所以a＝b，则B＝A＝π6.故选B．当数学问题不能用统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后综合各类解而得到原问题的答案．这种解决问题的思想方法叫做分类讨论的思想方法．如正弦定理的证明(对三角形分别是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形逐一讨论，并将锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形)，解三角形中解的个数等，通过讨论，将不可能的或与题设条件不相符的逐一排除，从而得出正确结论，讨论时要做到不重不漏．分类讨论思想【例2】如图所示，A，B两个小岛相距21nmile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9nmile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6nmile/h的速度离开B岛沿南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．【解析】设行驶t小时后，甲船行驶了9tnmile到达C处，乙船行驶了6tnmile到达D处．当9t＜21，即t＜73时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t.在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2·(21－9t)·6t·－12＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.当t＝2时，CD＝189＝321.当t＝73时，C与B重合，此时CD＝6×73＝14＞321.当t＞73时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2·(9t－21)·6t·cos60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189＞189，所以CD＞321.综上可知，t＝2时，CD取得最小值321，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近，距离为321nmile.【点评】此题考查了余弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．在△ABC中，已知a＝5，b＝53，A＝30°，解三角形．【解析】在△ABC中，据正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝53sin30°5＝32.∵b＞a，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝asinA＝5sin30°＝10；当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴c＝asinCsinA＝5sin30°sin30°＝5.综上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.一些问题直接求解比较困难，需将原问题转化为一个自己熟悉的易于求解的问题，这就是转化与化归的思想．在本章中，将所求面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题等，都是转化与化归思想的具体应用．转化与化归思想【例3】(2019年河南郑州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝2C,2b＝3c.(1)求cosC；(2)若c＝4，求△ABC的面积．【解析】(1)由正弦定理得2sinB＝3sinC．∵B＝2C，∴2sin2C＝3sinC，∴4sinCcosC＝3sinC．∵C∈(0，π)，sinC≠0，∴cosC＝34.(2)由题意得c＝4，b＝6.∵C∈(0，π)，∴sinC＝1－cos2C＝74，sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝378，cosB＝cos2C＝cos2C－sin2C＝18.∴sinA＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝378×34＋18×74＝5716.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×6×4×5716＝1574.【点评】与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行12h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10kmB．15kmC．102kmD．152km【答案】C【解析】在△ABC中，BC＝40×0.5＝20km，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝65°＋(180°－140°)＝105°，∴∠BAC＝45°.根据正弦定理可得AC＝BC·sin∠ABCsin∠BAC＝20×1222＝102(km)．货轮到达C点时与灯塔的距离是102km.故选C．以正弦定理，余弦定理的直接应用为主要考查目标，可能以选择题、填空题或解答题形式出现，多为中等难度．考查形式主要与三角变换相结合，直接在三角形中以处理边、角关系的形式呈现，以实际问题为背景，结合向量或几何知识构建综合性题也是可能的发展方向．1．(2018年新课标Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】cosC＝2×552－1＝－35，由余弦定理，得AB＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC＝1＋25＋2×1×5×35＝42.2．(2017年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A【答案】A【解析】由题意知sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinA·cosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a.故选A．3．(2017年新课标Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.【答案】75°【解析】由正弦定理bsinB＝csinC得sinB＝bsinCc＝6×323＝22.∵b＜c，∴B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.4．(2015年湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【答案】1006【解析】设此山高hm，则BC＝3h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝600，根据正弦定理得3hsin30°＝600sin45°，解得h＝1006m.5．(2017年北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．【解析】(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.6．(2018年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC．【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理，得BDsinA＝ABsin∠ADB.由题设知5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题意知∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题意及(1)知cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.