2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 第2节 应用举例 第2课时 三角形中的几何计算课件

第2课时三角形中的几何计算[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P16～P18，回答下列问题：(1)△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？提示：ha＝bsin_C＝csin_B，hb＝csin_A＝asin_C，hc＝asin_B＝bsin_A．(2)若将上述问题中得到的结论代入三角形面积公式S＝12ah，可以推导出怎样的三角形面积公式？提示：S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA．2．归纳总结，核心必记三角形的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝＝．(3)S＝12r(a＋b＋c)(其中r为三角形内切圆半径)．12bcsin_A12acsin_B[问题思考]如何利用三角形的面积公式(1)推导出面积公式(2)和(3)？(以锐角△ABC为例)提示：①如图作AD⊥BC，垂足为D.则S△ABC＝12BC·AD.又∵AD＝AB·sinB，∴S△ABC＝12BC·AB·sinB＝12acsinB.②如图，S△ABC＝S△ABI＋S△ACI＋S△BCI＝12AB·r＋12AC·r＋12BC·r，＝12(AB＋AC＋BC)r＝12(a＋b＋c)r．[课前反思]1．三角形的面积公式有：；2．如何选择恰当的公式求三角形的面积？．如图，△ABC的三边分别为a，b，c.[思考1]若已知a，b及∠C的值，如何求△ABC的面积？名师指津：S＝12absin_C．[思考2]若已知a，b及∠A的值，如何求△ABC的面积？名师指津：法一：由正弦定理asinA＝bsinB，求出sin_B，进而求出∠C或sin_C，利用S△＝12absin_C求解．法二：利用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A，求出c，然后利用S△＝12bcsin_A求解．[思考3]若已知∠A，∠B和c，如何求△ABC的面积？名师指津：先利用A＋B＋C＝π，求出C，然后利用正弦定理求b或c，最后代入面积公式求解．[思考4]若已知三角形的三边a，b，c，如何求△ABC的面积？名师指津：利用余弦定理求角的余弦值，进而求出该角的正弦值，然后代入面积公式求解．讲一讲1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．(链接教材P16－例7)[尝试解答](1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35.∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S＝12absinC＝12bc·sinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12CD，∠ADB＝120°，AD＝2，且△ADC的面积为3－3.(1)求边BC的长；(2)求∠BAC的度数．解：(1)∵∠ADC＝180°－120°＝60°，AD＝2，∴S△ADC＝12AD·DCsin60°＝3－3，即12×2×DC×32＝3－3，解得DC＝2(3－1)．∵BD＝12DC，∴BD＝3－1，BC＝33－3.(2)在△ABD中，根据余弦定理，得AB＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°＝6.同理可得AC＝6(3－1)．在△ABC中，根据余弦定理，得cos∠BAC＝6＋63－12－33－322×6×63－1＝12，∴∠BAC＝60°.讲一讲2．在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长a.[尝试解答]如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.因为c＝4，b＝7，AD＝72，在△ACD中，有cosC＝72＋x2－7222×7×x，在△ABC中，有cosC＝72＋（2x）2－422×7×2x.所以72＋x2－7222×7×x＝72＋（2x）2－422×7×2x.解得x＝92.所以a＝2x＝9.三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．练一练2．△ABC中，已知点D在BC边上，满足sin∠BAC＝223，AB＝32，BD＝3.(1)求AD的长；(2)求cosC.解：(1)因为，所以AD⊥AC，所以sin∠BAC＝sinπ2＋∠BAD＝cos∠BAD，因为sin∠BAC＝223，所以cos∠BAD＝223.在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3.由于ABAD，所以AD＝3.(2)在△ABD中，由正弦定理可知，BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB，又由cos∠BAD＝223，可知sin∠BAD＝13，所以sin∠ADB＝AB·sin∠BADBD＝63，又∠DAC＝90°，所以cosC＝sin∠CDA＝sin∠ADB＝63.讲一讲3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sinC.[尝试解答]法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－b2＝b2－a2＋2c(acosB－bcosA)，即a2－b2＝c(acosB－bcosA)，变形得a2－b2c2＝acosB－bcosAc＝accosB－bccosA.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC.∴a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sin（A－B）sinC.法二：sin（A－B）sinC＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sinAsinCcosB－sinBsinCcosA，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得sinAsinC＝ac，sinBsinC＝bc，由余弦定理推论得，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosA＝b2＋c2－a22bc，代入上式得sin（A－B）sinC＝ac·a2＋c2－b22ac－bc·b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝2（a2－b2）2c2＝a2－b2c2.∴原等式成立．三角形中的有关证明问题的基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．练一练3．在△ABC中，求证：acos2C2＋ccos2A2＝12(a＋b＋c)．证明：法一：左边＝a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝a＋c2＋12acosC＋12ccosA＝a＋c2＋12a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝a＋c2＋b2＝a＋b＋c2＝右边，∴等式成立．法二：由正弦定理得，a＝2RsinA，c＝2RsinC，代入等式左边，左边＝2RsinA·1＋cosC2＋2RsinC·1＋cosA2＝R(sinA＋sinAcosC)＋R(sinC＋cosAsinC)＝R(sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC)＝R[sinA＋sinC＋sin(A＋C)]＝R(sinA＋sinC＋sinB)＝2RsinA＋2RsinC＋2RsinB2＝a＋b＋c2＝右边，∴等式成立．讲一讲4．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．[思路点拨]把四边形中的边角放在三角形中，由正、余弦定理列出关系式．[尝试解答](1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝13－12cosC．(*)BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA·cosA＝5＋4cosC．(**)由(*)(**)得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DA·sinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．练一练4．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3asinC＋ccosA，(1)求角A；(2)若a＝23，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．解：(1)由c＝3asinC＋ccosA及正弦定理得，sinC＝3sinAsinC＋sinCcosA，又因为sinC≠0，所以sinA＋π6＝12，π6A＋π67π6，故A＝2π3.(2)三角形面积公式为S＝12bcsinA＝3，故bc＝4，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＋c＝4，所以周长为4＋23.—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．2．本节要重点掌握的规律方法(1)与三角形面积有关的计算，见讲1.(2)与三角形中线段长度有关的计算，见讲2.(3)与解三角形有关的综合问题，见讲4.