2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 第1节 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理课件

第2课时余弦定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P5～P8，回答下列问题：(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，那么，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？提示：根据三角形全等的判定方法，可知这个三角形的大小、形状完全确定．(2)如图在△ABC中，若a＝m，b＝n，C＝α，能利用前一节课我们所学的正弦定理求边AB的长吗？提示：不能．因为应用正弦定理必须具备“一条边及其对角”的条件．(2)上述问题2能用平面向量的知识解决吗？请参照教材第5页图1.1－3的方法给出证明．b2＋c2－2bccos_Aa2＋c2－2accos_Ba2＋b2－2abcos_C(1)余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2＝，b2＝，c2＝．(2)余弦定理的推论在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.[问题思考]若△ABC为钝角三角形，且A90°，则三边a，b，c满足什么关系？提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A90°，∴cos_A0，即b2＋c2－a22bc0.∴b2＋c2a2.[课前反思](1)余弦定理的内容：；(2)余弦定理的推论：；(3)余弦定理和勾股定理的关系：．[思考]余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可求第四个量，如果已知△ABC的两边a，b和其夹角C，如何求其他元素？名师指津：可先利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求角．讲一讲1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．(链接教材P7－例3)[尝试解答]由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝46.法一：由cosA＝b2＋c2－a22bc＝96＋16（3＋1）2－642×46×4（3＋1）＝22，∵0°A180°，∴A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB，∴8sinA＝46sin60°，∴sinA＝22，∵ba，ca，∴a最小，即A为锐角．因此A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．练一练1．在△ABC中，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c＝6－2.法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝（23）2＋（6－2）2－（22）22×23×（6－2）＝22.∵0°A180°，∴A＝45°，从而B＝120°.法二：由正弦定理得sinA＝asinCc＝22×6－246－2＝22.∵ab，∴AB，又0°A180°，∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.[思考1]已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形的一般思路如何？名师指津：先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再由正弦定理求出第三个边．[思考2]对于[思考1]中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形？名师指津：设三角形的第三边为x，通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方程即可得到x的值．讲一讲2．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a.[尝试解答]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋（33）2＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.已知两边及一边对角解三角形可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．练一练2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3解析：选B由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴12＝1＋c2－32×1×c，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．[思考]在前面我们所解的三角形问题，已知条件中都至少含有一个角，若已知三角形的三边，能否解此三角形？你能给出具体解决方法吗？名师指津：可利用余弦定理的推论cos_A＝b2＋c2－a22bc或cos_B＝a2＋c2－b22ac或cos_C＝a2＋b2－c22ab求解．讲一讲3．(1)已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数；(链接教材P7－例4)(2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．[尝试解答](1)由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝（22）2＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，∴A＝60°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝（23）2＋（6＋2）2－（22）22×23×（6＋2）＝22，∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°(2)∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．练一练3．已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC.解：∵acb，∴A为最大角．由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°A180°，∴A＝120°.∴sinA＝32，由正弦定理，得sinC＝c·sinAa＝57×32＝5314.讲一讲4．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC．试判断△ABC的形状．[思路点拨]把已知条件中的正弦函数式化为余弦，再由余弦定理把式子化为边的关系式．[尝试解答]将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理，可得b2＋c2－b2·a2＋b2－c22ab2－c2·a2＋c2－b22ac2＝2bc·a2＋c2－b22ac·a2＋b2－c22ab，即b2＋c2＝[（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）]24a2.所以b2＋c2＝a2.所以△ABC为直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．练一练4．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝3ac，且2sinAcosC＝sinB，试判断△ABC的形状．解：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝3ac，得a2＋c2－b2＝ac，于是cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，故B＝60°.又由2sinAcosC＝sinB，得2×a×a2＋b2－c22ab＝b，所以a＝c，故△ABC是等边三角形．—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形，如讲1和讲2.(2)已知三边解三角形，如讲3.(3)利用余弦定理判断三角形的形状，如讲4.3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．