2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理 第一课时 余弦定理课件 苏教版必

余弦定理第一课时余弦定理预习课本P13～16，思考并完成以下问题(1)什么是余弦定理？(2)余弦定理有哪些变形？[新知初探]1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC[点睛]注意公式中边角的对应，注意公式中加减号．2．余弦定理的变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22ab[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用锐角三角形()(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()×√×解析：(1)错误．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2b2＋c2时，cosA＝b2＋c2－a22bc0.因为0Aπ，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B.2C.5D．5解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，所以c＝3.答案：A3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋2ac，则角B的大小是()A．45°B．60°C．90°D．135°解析：由已知得a2＋c2－b2＝2ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0°B180°，所以B＝45°.答案：A4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cosB＝14.则边c的长度为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得16＝a2＋4a2－4a2×14，所以a＝2，c＝4.答案：4已知三边解三角形[典例]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．[解]∵abc，∴A最大．cosA＝b2＋c2－a22bc＝52＋32－722×5×3＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°.(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理，求解时要注意“大边对大角、大角对大边”．(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求角．[活学活用]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.解析：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵0°B180°，∴B＝150°.答案：150°2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，则A＝________.解析：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)．由余弦定理的变形得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋3＋12k2－4k22×6k×3＋1k＝22.∴A＝45°.答案：45°已知两边及一角解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形．[解]法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－23·22c.即c2－6c＋1＝0.解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB得，sinA＝asinBb＝3·sin45°2＝32.又∵ab，∴AB，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3，∴c＝2＋3＝6＋22.或用正弦定理求边c，由csinC＝bsinB得c＝bsinCsinB＝2·sin75°sin45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝6－22，故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.已知两边及一角解三角形的方法及注意事项(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．[活学活用]1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝42.答案：A2．在△ABC中，B＝π4，AB＝2，BC＝3，则sinA＝________.解析：由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC＝5.再由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，所以sinA＝BC·sinBAC＝3×225＝31010.答案：31010余弦定理在边角转化中的作用题点一：利用余弦定理实现角化边1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.解析：由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以a＝2b，即ab＝2.答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg1b＋c，则A＝________.解析：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12.又0°A180°，所以A＝120°.答案：120°余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，一般是利用余弦定理的变形式进行边、角互化．