2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理 第二课时 余弦定理的应用课件 苏

第二课时余弦定理的应用利用余弦定理解决实际问题[典例]地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地平面上取一基线AB＝40m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(精确到0.1m)[解]如图所示，设OP＝xm，在△AOP中，∵∠POA＝90°，∠OAP＝30°，∴AO＝3x.在△BOP中，∵∠POB＝90°，∠OBP＝45°，∴BO＝x.在△AOB中，∠AOB＝60°，AB＝40，∴AB2＝AO2＋BO2－2AO·BOcos∠AOB，即1600＝3x2＋x2－23x×x×12，∴x2＝16004－3，∴x＝404＋313≈26.6(m)．因此旗杆高约为26.6m.利用余弦定理解决实际问题时，关键是根据所求问题将已知量置于可解三角形内，通过解三角形解决．[活学活用]1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为90nmile/h.此时海盗船距观测站107nmile,20min后测得海盗船距观测站20nmile，再过________min，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min)．答案：4032．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.解析：如图所示，在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10.在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°，∴BC＝103.在△ABC中，cos∠ACB＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB＝30°.答案：30°利用余弦定理解决几何问题[典例]在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132，且AD＝BD，求△ABC的面积．[解]设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×4×5－x＝3132.解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理，得ADsinC＝CDsin∠CAD，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD＝41－31322＝378，∴S△CAB＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×378＝1574.故三角形ABC的面积为1574.解三角形广泛应用于解各种平面图形，解题时可将问题纳入三角形中去解决，理清已知条件与待求问题，再根据正、余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求．[活学活用]已知梯形ABCD的上底AD长为1cm，下底BC长为4cm，对角线AC长为4cm，BD长为3cm，求cos∠DBC及梯形ABCD的面积．解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，则在△DBE中，DE＝AC＝4，BE＝5，所以，由余弦定理得cos∠DBC＝32＋52－422×3×5＝35.因为0°∠DBC180°，所以sin∠DBC＝45，sin∠ADB＝45，S梯形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝12AD·BD·sin∠ADB＋12DB·BC·sin∠DBC＝6.利用正、余弦定理判断三角形形状[典例]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则△ABC的形状为________．[解析]由题意得sin2Asin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2b2＋c2，即b2＋c2－a20.∴cosA＝b2＋c2－a22bc0，∴A为钝角，即三角形为钝角三角形．[答案]钝角三角形[一题多变]1．[变条件]本例的条件变为：若2sinAcosB＝sinC，则△ABC的形状为________．解析：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，即△ABC是等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.即△ABC是等腰三角形．答案：等腰三角形2．[变条件]本例的条件变为：若2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．且sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝－12，sinA＝32，则sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，所以sinBsinC＝14，所以sinB＝sinC＝12.因为0Bπ2，0Cπ2，故B＝C＝π6，所以△ABC是等腰钝角三角形．判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．