2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 正、余弦定理在实际中的

1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用目标导航课标要求1.能将实际问题转化为解三角形问题.2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题.素养达成通过运用正、余弦定理解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题,培养学生数学建模能力,体会数学的应用价值.新知导学课堂探究1.基线的概念(1)定义在测量上,根据测量需要适当确定的叫做基线.(2)性质在测量过程中,要根据实际需要选取合适的,使测量具有较高的.一般来说,基线越长,测量的精确度越.新知导学·素养养成线段基线长度精确度高2.坡角与坡比(1)坡角坡面与的夹角,如图所示,α为坡角.水平面(2)坡比坡比是指坡面的铅直高度与之比,即i=hl=tanα,如图所示.水平宽度3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).思考:仰角与俯角都是与铅垂线所成的角,对吗?答案:不对,都是与水平线所成的角.目标4.方位角和方向角(1)方位角从指北方向转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:.(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于的水平角,如南偏西60°,指以方向为始边,顺时针方向旋转60°.顺时针0°～360°90°正南向西课堂探究·素养提升题型一测量距离问题[例1]在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为32a的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.解:因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又因为∠ACD=60°,所以∠DAC=60°,所以AD=CD=32a.在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,因为sinDBBCD=sinCDDBC,所以BD=CD·sinsinBCDDBC=32a·62422=334a.在△ADB中,因为AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB=34a2+(334a)2-2×32a·334a·32=38a2,所以AB=64a,所以蓝方这两支精锐部队的距离为64a.误区警告求距离问题的注意事项:(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.解:在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°,由正弦定理得sinBDBCD=sinCDCBD,即BD=sin75sin60CD=2.在△ABD中,∠ADB=45°+15°=60°,BD=AD,所以△ABD为等边三角形,所以AB=2.答:A,B两景点的距离为2km.即时训练1-1:已知A,B,C,D四个景点,如图所示,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∠ADC=15°.A,D相距2km,C,D相距(32-6)km,求A,B两景点的距离.题型二测量高度问题[例2]某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.解:根据题意画出示意图,且BE⊥CD.在△BDC中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°.由正弦定理,得sinCDDBC=sinBDDCB,所以BD=40sin30sin135=202.在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°,所以BE=DBsin15°=202×624=10(3-1).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BEtan30°=103(3-3)(米),故所求的塔高为103(3-3)米.方法技巧测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.解析:因为∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,所以∠ASB=180°-∠SAB-∠SBA=135°,在△ABS中,AB=sin135sin30AS=21000212=10002,所以BC=AB·sin45°=10002×22=1000(m).即时训练2-1:如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为m.答案:1000题型三测量角度问题[例3]某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10海里/时的速度向小岛B靠拢,我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解:如图所示,设所需时间为t小时,则AB=103t,CB=10t,在△ABC中,根据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,可得(103t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-12(舍去),所以舰艇需1小时靠近渔船,此时AB=103,BC=10.在△ABC中,由正弦定理得sinBCCAB=sin120AB,所以sin∠CAB=sin120BCAB=3102103=12,所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为75°.故舰艇的航向为方位角75°,靠近渔船所需时间为1小时.方法技巧测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解:设甲船沿直线与乙船同时到C点,则A,B,C构成△ABC,如图,设乙船速度为v,到达C处用时为t,则甲船速度为3v.由题意BC=vt,AC=3vt,∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,所以3v2t2=a2+v2t2+avt,所以2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-2a(舍去)或vt=a,所以BC=a,在△ABC中AB=BC=a,所以∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°,即甲船应取北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了a海里.即时训练3-1:甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?题型四易错辨析——应用正、余弦定理时出现增根致误[例4]某观测站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31km的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20km后到达D处,此时C,D间的距离为21km,则这人还要走多远才可到达A城?错解:如题图所示,∠CAD=60°,在△BCD中,由余弦定理得cosB=2222BCBDCDBCBD=22231202123120=2331,所以sinB=21cosB=12331.在△ABC中,AC=sinsinBCBBAC=24(km).在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,即212=242+AD2-24AD,所以AD=15或AD=9,即这人还要走15km或9km才能到达A城.纠错:(1)余弦定理中线段是平方形式,故求值时会出现两个值,未检验解是否合题意,导致了错误.(2)求解应用题一定要注意验根,看是否符合题意或符合实际问题.正解:设∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中,由余弦定理得cosβ=2222BDCDCBBDCD=22220213122021=-17,所以sinβ=437,所以sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=437×12+32×17=5314.在△ACD中,由正弦定理得sin60CD=sinAD,所以AD=21sinsin60=15(km),即这人还要走15km才可以到达A城.学霸经验分享区(1)解决实际测量问题一般要充分认真理解题意,正确作出图形,从中抽象出一个或几个三角形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角,然后解三角形,得到实际问题的解.(2)运用正弦定理、余弦定理解决实际问题要依以下步骤进行①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形);②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理有序地解这些三角形,求得数学模型的解;④检验:检验上述所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.课堂达标D1.为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图,测得下面四组数据,较合理的是()(A)c与α(B)c与b(C)b,c与β(D)b,α与γ解析:因为测量者在A,C处测量,所以较合理的应该是b,α与γ.故选D.B2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为()(A)αβ(B)α=β(C)α+β=90°(D)α+β=180°解析:根据仰角与俯角的定义知α=β.故选B.解析:由正弦定理得6sin(4530)=sin30PB,PB=162sin15=3sin15,h=PBsin45°=(3+33)m.故选A.3.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为6m,则树的高度为()(A)(3+33)m(B)(3+332)m(C)(32+33)m(D)(32+33)mA解析:在△ABC中,A=60°,B=75°,所以C=45°.因为sinABC=sinBCA,所以BC=sinsinABAC=310222=56(nmile).故选D.4.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C两岛之间的距离为()(A)103nmile(B)1063nmile(C)52nmile(D)56nmileD5.(2019·广东揭阳检测)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,则sinα=.解析:依题意知,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20海里,∠BCA=α.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得BC=28海里.在△ABC中,由正弦定理,得sinAB=sin120BC,即sinα=312228=3314.答案:3314