2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中

第二课时正、余弦定理在三角形中的应用目标导航课标要求1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.素养达成通过对正、余弦定理在三角形中的应用学习,提升学生利用数学工具解决实际问题的能力,培养学生数学运算和逻辑推理能力.新知导学课堂探究三角形常用面积公式新知导学·素养养成(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高);(2)S=12absinC=12acsinB=;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).思考1:与传统的三角形面积的计算方法相比,用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势?答案:主要优势是不必计算三角形的高,只要知道三角形的“基本量”就可以求其面积.1sin2bcA思考2:已知△ABC的三边a,b,c的长,能计算该三角形的面积吗?答案:能.可以用余弦定理计算cosC,再得sinC,利用S=12absinC可求.名师点睛多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题,可以利用“割补法”将多边形转化为三角形,利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决.课堂探究·素养提升题型一三角形面积的计算[例1]△ABC中,已知C=120°,AB=23,AC=2,求△ABC的面积.解:由正弦定理sinABC=sinACB,所以sinB=sinACCAB=2sin12023=12.因为ABAC,所以CB,所以B=30°,所以A=30°.所以△ABC的面积S=12AB·AC·sinA=12×23×2×sin30°=3.方法技巧(1)由于三角形的面积公式有三种形式,实际使用时要结合题目的条件灵活运用.(2)如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则先用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.解析:由正弦定理sinbB=sincC及已知条件得c=22,又sinA=sin(B+C)=12×22+32×22=264.从而S△ABC=12bcsinA=12×2×22×264=3+1.故选B.即时训练1-1:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为()(A)23+2(B)3+1(C)23-2(D)3-1(1)解析:由S△ABC=32,得12AB·AC·sinA=32,即12×2AC×32=32,所以AC=1.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=22+12-2×2×1×12=3,所以BC=3.[备用例1](1)在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=32,则边BC的长为.答案:3(2)解:由cosA=-513,得sinA=21cosA=1213.由cosB=35,得sinB=21cosB=45.所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1213×35+(-513)×45=3665-2065=1665.由正弦定理得AC=sinsinBCBA=4551213=133,所以△ABC的面积为S=12·BC·AC·sinC=12×5×133×1665=83.(2)已知在△ABC中,cosA=-513,cosB=35,BC=5,求△ABC的面积.[例2]在△ABC中,求证:coscosacBbcA=sinsinBA.题型二三角恒等式证明证明:法一左边=22222222cacbaaccbcabbc=2222acba·2222bbca=ba=2sin2sinRBRA=sinsinBA=右边.法二左边=sinsincossinsincosACBBCA=sinsincossinsincosBCCBACCA=sincossincosBCAC=sinsinBA=右边.方法技巧(1)三角恒等式证明的三个基本原则①统一边角关系.②由繁推简.③目标明确,等价转化.(2)三角恒等式证明的基本方法①把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系,然后进行化简、变形.②把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理,然后利用三角函数公式进行恒等变形.即时训练2-1:在△ABC中,求证:222abc=sinsinABC.证明:右边=sincoscossinsinABABC=sinsinAC·cosB-sinsinBC·cosA=ac·2222acbac-bc·2222bcabc=222abc=左边,故结论成立.[备用例2](1)(2019·日照高二期末)在△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.(1)证明:法一由正弦定理sinaA=sinbB=sincC,则asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB,所以左边=asinB-asinC+bsinC-bsinA+csinA-csinB=(asinB-bsinA)+(bsinC-csinB)+(csinA-asinC)=0+0+0=0=右边,所以原式成立.法二由正弦定理sinaA=sinbB=sincC=2R得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以左边=2RsinA(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=2R×0=0,所以原等式成立.法三由正弦定理sinaA=sinbB=sincC=2R得sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,所以左边=a(2bR-2cR)+b(2cR-2aR)+c(2aR-2bR)=12R(ab-ac+bc-ab+ac-bc)=12R×0=0,所以原等式成立.(2)在△ABC中,已知AB·AC=3BA·BC.①求证:tanB=3tanA;②若cosC=55,求A的值.(2)①证明:因为AB·AC=3BA·BC,所以|AB|·|AC|·cosA=3|BA|·|BC|·cosB,即|AC|·cosA=3|BC|·cosB,由正弦定理知sinACB=sinBCA,从而sinBcosA=3sinAcosB,又因为0A+Bπ,所以cosA0,cosB0,所以tanB=3tanA.②解:因为cosC=55,0Cπ,所以sinC=21cosC=255.从而tanC=2,于是tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,亦即tantan1tantanABAB=-2,由①得24tan13tanAA=-2,解得tanA=1或tanA=-13,因为cosA0,故tanA=1,所以A=π4.[例3]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=34(a2+b2-c2).(1)求角C的大小;题型三三角形中的综合问题规范解答:(1)由题意可知12absinC=34×2abcosC,…………………2分所以tanC=3,……………………………………………………………4分因为0Cπ,所以C=π3.……………………………………………………6分(2)求sinA+sinB的最大值.规范解答:(2)由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-A-π3)=sinA+sin(2π3-A)=sinA+32cosA+12sinA=3sin(A+π6)≤3(0A2π3).……9分当A=π3时,即△ABC为等边三角形时取等号,……………………………………11分所以sinA+sinB的最大值为3.……………………………………12分方法技巧(1)解三角形综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、平面向量等知识,因此掌握正、余弦定理,三角函数的公式及性质是解题关键.(2)三角形问题中,涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用.解:(1)因为△ABC外接圆的半径为2,且22(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,所以由正弦定理,有a2-c2=(a-b)b,所以a2-c2+b2=ab,又由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,所以ab=2abcosC,所以cosC=12,又因为C是△ABC的内角,0Cπ,所以C=π3.即时训练3-1:(2019·嘉兴高二期末)在△ABC中,A,B,C分别为三个内角,a,b,c分别为三个内角的对边,已知22(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC外接圆的半径为2.(1)求角C;解:(2)△ABC的面积为S=12absinC=12absinπ3=34×4×(2)2·sinA·sinB=23sinAsin(23π-A)=23·[12sin(2A-π6)+14],所以当A=π3时,S有最大值,且最大值为332.(2)求△ABC的面积S的最大值.[备用例3](1)若△ABC三边长为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解:(1)因为S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2),又由余弦定理得a2+b2-c2=2ab·cosC,所以c2-(a-b)2=2ab(1-cosC),即S=2ab(1-cosC),又S=12ab·sinC,所以sinC=4(1-cosC),又因为sin2C+cos2C=1,所以17cos2C-32cosC+15=0,得cosC=1517或cosC=1(舍去),所以sinC=817,所以S=12ab·sinC=417a(2-a)=-417(a-1)2+417,因为a+b=2,所以0a2,所以当a=1,b=1时,Smax=417.(2)如图,在四边形ABCD中,AC=CD=12AB=1,AB·AC=1,sin∠BCD=35.①求BC边的长;②求四边形ABCD的面积.解:(2)①因为AC=CD=12AB=1,所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=2cos∠BAC=1,所以cos∠BAC=12,所以∠BAC=60°.在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=22+12-2×2×1×12=3,所以BC=3.②由①知,在△ABC中,有AB2=BC2+AC2,所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,所以S△ABC=12BC·AC=12×3×1=32.又∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,sin∠BCD=35,所以cos∠ACD=35,从而sin∠ACD=21cosACD=45,所以S△ACD=12AC·CD·sin∠ACD=12×1×1×45=25,所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=32+25=45310.错解:因为C=60°,所以A+B=120°,所以B=120°-A.因为sinaA=sin120bA=sincC=4sin60=83,所以a=83sinA,b=83sin(120°-A),所以a+b=83[sinA+sin(120°-A)],因为sinA≤1,sin(120°-A)≤1,所以a+b≤163=1633,所以a+b的最大值是1633.题型四易错辨析——忽视三角形角之间的内在制约而致误[例4]在△ABC中,c=4,C=60°,求a+b的最大值.纠错:本题的根本错因在于角A和120°-A之间不是互相独立的而是相互联系、相互制约的,sinA≤1与sin(120°-A)≤1不可能同时成立,所以a+b≤1633中的等号是不可能成立的,在利用三角函数的有界性求最值时一般尽可能转化为一个角的三角函数,然后利用三角函数的有界性求解.正解:因为C=60°,所以A+B=120°,所以B=120°-A.因为sinaA=sin120bA=sincC=4sin60=83,所以a=83sinA,b=83sin(120°-A),所以a+b=83[sinA+sin(120°-A)]=83