2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理目标导航课标要求1.掌握余弦定理及其推论.2.掌握正、余弦定理的综合应用.3.能应用余弦定理判断三角形的形状.素养达成通过对余弦定理及其应用的学习,培养学生数学建模与直观想象的能力.新知导学课堂探究余弦定理新知导学·素养养成平方文字语言三角形中任何一边的等于其他两边的的减去这两边与它们的夹角的的倍符号语言a2=____________________b2=____________________c2=____________________平方和余弦的积两b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC推论cosA=_________________cosB=_________________cosC=2222abcab思考1:在△ABC中,若a2b2+c2,则△ABC是锐角三角形吗?答案:不一定.由cosA=2222bcabc0知A为锐角,但因为△ABC中a不一定是最大边,所以△ABC不一定是锐角三角形.2222bcabc2222acbac思考2:勾股定理和余弦定理的联系与区别?答案:两者都反映了三角形三边之间的平方关系,其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系,勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系,是余弦定理的特例.思考3:利用余弦定理可以解决几类解三角形问题?答案:(1)已知两边及其夹角求第三边;(2)已知三边求任意一个角;(3)已知两边及一边的对角求第三边和另外两角.名师点津(1)余弦定理的特点①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.(2)应用余弦定理判断三角形的形状a2+b2-c2=0⇔直角三角形222222222000abcacbbca⇔锐角三角形a2+b2-c20或b2+c2-a20或a2+c2-b20⇔钝角三角形课堂探究·素养提升题型一已知三边解三角形[例1]在△ABC中,已知a=23,b=6,c=3+3,解此三角形.解:法一由余弦定理的推论得cosA=2222bcabc=222(6)(33)(23)26(33)=22,所以A=45°.同理可求B=30°,故C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°.法二由余弦定理的推论得cosA=2222bcabc=222(6)(33)(23)26(33)=22,所以A=45°.由正弦定理得sinaA=sinbB知23sin45=6sinB,得sinB=6sin4523=12.因ab知AB,所以B=30°.故C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°.方法技巧已知三边解三角形的方法及注意事项(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值,确定角的大小.(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值,确定角的大小;由正弦定理求第二个角的正弦值,结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小,最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小.(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角,值为负,角为钝角,思路清晰,结果唯一.即时训练1-1:在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.解:因为acb,所以A为最大角,由余弦定理的推论,得cosA=2222bcabc=222357235=-12,所以A=120°,所以sinA=sin120°=32.由正弦定理sinaA=sincC,得sinC=sincAa=3527=5314.所以最大角A为120°,sinC=5314.题型二已知两边及一角解三角形解:法一由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,所以a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时,A=30°,所以C=120°.当a=6时,由正弦定理得sinA=sinaBb=1623=1.所以A=90°,所以C=60°.[例2]△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,求角A,角C和边a.法二由bc,B=30°,bcsin30°=33×12=332知本题有两解.由正弦定理得sinC=sincBb=13323=32,所以C=60°或120°,当C=60°时,A=90°,由勾股定理得a=22bc=223(33)=6,当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形,所以a=3.一题多变:若将题中“c=33”改为“c=23”,“B=30°”改为“A=30°”,应如何求解三角形?解:直接运用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=32+(23)2-2×3×23×cos30°=3,从而a=3,所以cosB=2222acbac=222(3)(23)32323=612=12.所以B=60°,所以C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.方法技巧已知三角形的两边与一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).[备用例1](2019·山东潍坊一中检测)在△ABC中,已知a=2,b=22,C=15°,求A.解:法一因为cos15°=cos(45°-30°)=624,sin15°=sin(45°-30°)=624,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(6+2)=8-43,所以c=6-2.又ba,所以BA,所以A为锐角.由正弦定理,得sinA=acsinC=262×624=12.所以A=30°.法二因为cos15°=cos(45°-30°)=624,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(6+2)=8-43,所以c=6-2.所以cosA=2222bcabc=32.又0°A180°,所以A=30°.规范解答:已知等式可化为a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.………3分由正、余弦定理将角转化为边的关系得a2b·2222bcabc=b2a·2222acbac,………………………………………6分所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,…………………8分所以a=b或a2+b2=c2,……………………………………………………10分故△ABC为等腰三角形或直角三角形.…………………………………12分题型三利用余弦定理判断三角形形状[例3]在△ABC中,a,b,c分别表示角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.方法技巧利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解.解:(1)法一(角化边)由正弦定理,得sinsinCB=cb,由2cosA·sinB=sinC,得cosA=sin2sinCB=2cb.又由余弦定理的推论,得cosA=2222cbabc,所以2cb=2222cbabc,即c2=b2+c2-a2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3b2,所以4b2-c2=3b2,所以b=c.因为a=b=c,所以△ABC为等边三角形.[备用例2](1)在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosA·sinB=sinC,试确定△ABC的形状;法二(边化角)因为A+B+C=180°,所以sinC=sin(A+B).又因为2cosA·sinB=sinC,所以2cosA·sinB=sinA·cosB+cosA·sinB,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cosC=12,而0°C180°,所以C=60°.又因为A=B,所以△ABC为等边三角形.(2)(2019·浙江嘉兴检测)在△ABC中,已知cos22A=2bcc(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.解:(2)法一在△ABC中,由cos22A=2bcc,得1cos2A=2bcc,所以cosA=bc.根据余弦定理,得2222bcabc=bc,故b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.所以△ABC是直角三角形.法二在△ABC中,设其外接圆半径为R,由正弦定理,得b=2RsinB,c=2RsinC.由cos22A=2bcc知,cosA=bc.所以cosA=sinsinBC,即sinB=sinCcosA.因为B=π-(A+C),所以sin(A+C)=sinCcosA,所以sinAcosC=0.因为A,C都是△ABC的内角,所以A≠0,A≠π.所以cosC=0,所以C=π2.所以△ABC是直角三角形.错解:因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边,所以210,0,210,aaa解得a12,所以2a+1是三边长的最大值,设其所对角为θ,所以cosθ0,所以222(2a1)(2a1)2(2a1)aa=(8)2(21)aaaa0,解得12a8,所以a的取值范围是(12,8).题型四易错辨析—忽略三角形三边关系致误[例4]设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,求实数a的取值范围.纠错:错解中求得的a12不是2a+1,a,2a-1表示三角形三边的充要条件.如当a=1时,a+(2a-1)2a+1,此时就不能作为三角形的三边.本题除了要保证三边长均为正数外,还应满足两边之和大于第三边、最大边所对角的余弦值为负数.正解:因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边,所以210,0,210,aaa解得a12,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边,还需a+(2a-1)2a+1,解得a2.设最长边2a+1所对的角为θ,则cosθ=222(21)(21)2(21)aaaaa=(8)2(21)aaaa0,解得12a8.所以a的取值范围是(2,8).学霸经验分享区(1)已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解,注意用边与角之间的关系特点进行取舍.(2)正确、灵活地选用正、余弦定理,一般地,若题设中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑利用余弦定理进行转化;若题设中含有角的正弦或边的一次式,则要考虑利用正弦定理进行转化处理.课堂达标B1.三角形的两边AB,AC的长分别为5和3,它们的夹角的余弦值为-35,则三角形的第三边长为()(A)52(B)213(C)16(D)4解析:由条件可知cosA=-35,则BC2=AB2+AC2-2AB·BC·cosA=52+32-2×5×3×(-35)=52.所以BC=213.故选B.A2.(2019·河南开封检测)在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定解析:由sin2A+sin2Bsin2C,得a2+b2c2,所以cosC=2222abcab0,所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.故选A.解析:由余弦定理,得cosB=2222acbac=137213=-32,又因为B∈(0,π),所以B=5π6.3.在△ABC中,角A,B