2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第1课时正弦定理目标定位重点难点1.了解正弦定理的推导过程．2．掌握正弦定理并能解一些简单的三角形度量问题.重点：正弦定理的推导及其应用．难点：正弦定理的应用.1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，即_____________________．2．解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的__________，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________．正弦asinA＝bsinB＝csinC元素解三角形3．正弦定理的变形形式(1)a＝bsinAsinB＝csinAsinC，b＝asinBsinA＝csinBsinC，c＝asinCsinA＝bsinCsinB.(2)sinA＝asinBb＝asinCc，sinB＝bsinAa＝bsinCc，sinC＝csinAa＝csinBb.1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A．15B．59C．53D．1【答案】B2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】D3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是()A．a＞bsinAB．a＝bsinAC．a＜bsinAD．a≥bsinA【答案】D4．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B【例1】在△ABC中，已知a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.【解题探究】解答本题先用内角和定理求出角B，再由正弦定理求出b和c.已知两角及一边解三角形【解析】由A＝30°，C＝45°，知B＝180°－(30°＋45°)＝105°.又由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得c＝asinCsinA＝20sin45°sin30°＝20×2212＝202.b＝asinBsinA＝20sin105°sin30°＝40sin75°＝40×6＋24＝10(6＋2)．【方法规律】如果已知三角形的两角及一边，由三角形内角和定理可以求出另一个角，再由正弦定理求出另两边．注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝30°＋45°)，再根据上述思路求解．在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，则b＝()A．66B．96C．43D．93【答案】B【解析】∵在△ABC中，a＝18，B＝60°，C＝75°，∴A＝45°，由正弦定理asinA＝bsinB得b＝asinBsinA＝18×3222＝96.故选B．【解题探究】由正弦定理可求出sinB，从而得出B的大小．【答案】C已知两边及一边的对角解三角形【例2】(2017年安徽合肥十校模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝3，A＝45°，则角B大小为()A．60°B．120°C．60°或120°D．15°或75°【解析】由正弦定理可得2sin45°＝3sinB，由此可得sinB＝32.又ba，∴B＝60°或120°.故选C．【方法规律】已知三角形两边和其中一边的对角，解斜三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论，若有解，则是一解或是两解．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝π6，则A＝()A．π4B．π3C．3π4D．π4或3π4【答案】D【解析】在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝π6，∴由正弦定理可得sinA＝asinBb＝2×122＝22.由a＞b，得A∈π6，5π6，∴A＝π4或3π4.故选D．【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，B＝120°，求解三角形．【解题探究】一般来说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，应用正弦定理解三角形．在三角形中，“大边对大角”“内角和等于180°”也可能用得上．利用正弦定理判断三角形的解的情况【解析】∵a＝5，b＝2，B＝120°，根据正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝52×32＞1，∴A不存在．故此三角形无解．【温馨提示】已知三角形的两边和其中一边的对角时，这个三角形是不确定的，因此解三角形时，可能会出现一解、两解、无解的情况．判断三角形解的个数问题，方法较多，在解题时，要灵活应用．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45°D．a＝30，b＝40，A＝30°【答案】D【解析】在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故ab，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝9226＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinAab，故△ABC有两解．涉及两边及一边对角容易漏解出现错误【示例】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C及c.【错解】根据正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32.∴A＝60°.∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝2sin(45°＋30°)＝6＋22.【错因分析】上述解法由sinA＝32，求角A时漏掉了一个解．【正解】根据正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32.∵b＜a，∴B＜A，∴A＝60°或120°.①当A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝2sin(45°＋30°)＝6＋22.②当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝2sin(45°－30°)＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.1．利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题(1)已知任意两角与一边，求其他两边和一角；(2)已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)；(3)已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数的方法：应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．2．三角形解的情况分析对于任意给定的a，b，A的值，能否确定一个三角形？(1)A为锐角时：(2)当A为直角或钝角时：1．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于()A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3D．2∶2∶3【答案】C【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶1∶4，∴A＝B＝π6，C＝2π3，由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶12∶32＝1∶1∶3.故选C．2．在△ABC中，下列式子与sinAa的值相等的是()A．bcB．sinBsinAC．sinCcD．csinC【答案】C【解析】由正弦定理得asinA＝csinC，∴sinAa＝sinCc.3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.【答案】12【解析】由A＋B＋C＝180°，A＋C＝2B，得B＝60°.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝13×32＝12.4．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.【解析】由三角形内角和定理，知A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝csinC，得c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin60°＋45°sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．