2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理 5.2 二项式系数的性质课件 北师

[自主梳理]二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端________的两个二项式系数相等，即Cmn＝________增减性与最大值增减性：当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞n＋12时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn2n最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn－12n，Cn＋12n相等，且同时取得最大值等距离Cn－mn二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝______；②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝______2n2n－1[双基自测]1.x－1x10的展开式中，系数最大的项是()A．第六项B．第三项C．第三项和第六项D．第五项和第七项解析：展开式第六项系数为－C510，第五项和第七项系数为C410、C610，且C410＝C610.D2．C110＋C210＋…＋C1010的值为________．解析：∵(1＋1)10＝C010＋C110＋C210＋…＋C1010，∴C110＋C210＋…＋C1010＝210－1＝1023.1023探究一赋值法求多项式系数和[例1]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[解析](1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2得：a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.(4)解法一∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384.解法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．1．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值的和．解析：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29＝512.(2)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1，即各项系数和为－1.(3)由(2)得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59，②①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr，因此当r＝1,3,5,7,9时，Tr＋1的系数小于0，即a1，a3，a5，a7，a9均小于0.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9＝59.探究二增减性与最值问题[例2]已知：(x23＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析]令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，∴n＝5.(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)设展开式中第r＋1项系数最大，则Tr＋1＝Cr5(x23)5－r(3x2)r＝3rCr5x1043r，∴3rCr5≥3r－1Cr－153rCr5≥3r＋1Cr＋15⇒72≤r≤92，∴r＝4.即展开式中第5项系数最大，T5＝C45(x23)5－4(3x2)4＝405x263.(1)根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N来确定r的值，即可求出最大项．2．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∵r∈{0,1,2，…，8}，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.探究三证明与组合数有关的恒等式[例3]求证：C0nC1n＋C1nC2n＋…＋Cn－1nCnn＝2n！n－1！n＋1！.[证明](1＋x)2n展开式中xn－1的系数为Cn－12n＝2n！n－1！n＋1！，又(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n＝(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cn－1nxn－1＋Cnnxn)(C0nxn＋C1nxn－1＋…＋Cn－1nx＋Cnn)，∴等式右边积中xn－1的系数为C0nC1n＋C1nC2n＋…＋Cn－1nCnn.∵两种展开式xn－1的系数应相等，∴C0nC1n＋C1nC2n＋…＋Cn－1nCnn＝2n！n－1！n＋1！.解决组合恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利用二项式的不同展开方法，比较系数得到相应的恒等式．有时取二项式中字母为某些特殊值也可得到相应的组合恒等式．3．求证：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝2n！n！n！.证明：已知(1＋x)2n＝(1＋x)n·(1＋x)n＝(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)，(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)中xn的系数为第一个因式中xr的系数与第二个因式中xn－r的系数的乘积的和．因为xr的系数Crn与xn－r的系数Cn－rn相等，所以(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)中xn的系数为(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2.又(1＋x)2n的展开式中xn的系数为Cn2n，因此有(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n＝2n！n！n！.混淆各项的系数和与各项的二项式系数和致误[典例]在(1－2x)7的展开式中，各项的二项式系数和为________；各项的系数和为________；各项系数的绝对值之和为________．[解析]各项的二项式系数和为27＝128；令x＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；令x＝－1，则得各项系数的绝对值之和为(1＋2)7＝2187.[答案]128－12187[错因与防范]1.这类问题，极易忽略一些条件或混淆一些概念导致题目解答错误．2．设a，b为常数，则(ax＋b)n的展开式中各项的二项式系数和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.在(ax＋b)n的展开式中令x＝1，则得(ax＋b)n的展开式中各项的系数和为(a＋b)n.3．求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来定．(1)x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40(2)(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展开式中所有x的奇次幂的系数之和等于________，所有x的偶次幂(包括x0)的系数之和等于________．解析：(1)对于x＋ax2x－1x5，可令x＝1，得1＋a＝2，所以a＝1.2x－1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·－1xr＝Cr525－r·(－1)r·x5－2r.要得到展开式的常数项，则x＋1x的x与2x－1x5展开式的1x相乘，x＋1x的1x与2x－1x5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1，得r＝3，令5－2r＝1，得r＝2，从而可得常数项为C35×22×(－1)3＋C25×23×(－1)2＝40.(2)设(x2＋x－1)9(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a22·x22.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝81；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a21＋a22＝－1，所以所有x的奇次幂的系数之和等于12[81－(－1)]＝41，所有x的偶次幂的系数之和等于12[81＋(－1)]＝40.答案：(1)D(2)4140