2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理 5.1 二项式定理课件 北师大版选

[自主梳理]二项式定理二项式定理概念公式(a＋b)n＝___________________________________________(n∈N*)叫作二项式定理二项式系数r＋1项的二项式系数Crn(r＝0,1,2，…，n)二项式通项Crnan－rbr叫作二项展开式的第________项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crn·an－r·br二项展开式C0nan＋C1n·an－1·b＋…＋Crnan－r·br＋…＋Cnn·bnC0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbnr＋1[双基自测]1．设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于()A．x5B．(x＋2)5C．(x－1)5D．(x＋1)5解析：P＝C05·15·(x＋1)0＋C15·14·(x＋1)1＋C25·13·(x＋1)2＋C35·12·(x＋1)3＋C45·1·(x＋1)4＋C55·10·(x＋1)5＝(1＋x＋1)5＝(x＋2)5.B解析：2x－1x25＝C05(2x)5－C15(2x)4·1x2＋C25(2x)3·1x22－C35(2x)2·1x23＋C45(2x)·1x24－C55·1x25＝32x5－80x2＋80x－40x4＋10x7－1x10.2.2x－1x25的二项展开式为____________________________．32x5－80x2＋80x－40x4＋10x7－1x10探究一二项式定理的正用、逆用[例1](1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解析](1)解法一(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)·(1x)3＋C44·(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.解法二(3x＋1x)4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.1．熟练掌握二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可先将式子化简，然后再展开．2．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．1．化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解析：原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－C55(2x＋1)0＝(2x＋1－1)5＝(2x)5＝32x5.探究二求二项展开式中的特定项[例2]求(x－3x)9展开式中的有理项．[解析]二项式的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9(x12)9－r(－x13)r＝(－1)rCr9x27－r6.令27－r6∈Z，且r＝0,1,2，…，9.得r＝3或r＝9.当r＝3时，T4＝(－1)3C39x4＝－84x4.当r＝9时，T10＝(－1)9C99x3＝－x3.所以(x－3x)9展开式中的有理项是：第4项，－84x4；第10项，－x3.二项式中的特定项(1)常数项二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．(2)有理项求展开式的有理项，应写出它的通项公式，令未知量的指数为整数，便能求出适合题意的有理项．(3)中间项对于展开式的中间项，若n是偶数，则二项展开式的中间项为第n2＋1项；若n是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第n＋12项和第n＋12＋1项．2．已知(x－124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C1n(12)，C2n(12)2，且2C1n×12＝1＋C2n(12)2，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)，Tr＋1＝Cr8(x)8－r(－124x)r＝(－12)rCr8x8－r2x－r4＝(－1)rCr82rx16－3r4.(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当16－3r4＝0，即3r＝16，∵r∈N，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数．∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.探究三二项式系数与项的系数[例3]已知在(3x－123x)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)依题意，得C4n∶C2n＝14∶3.化简，得(n－2)·(n－3)＝56.解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，∴n的值为10.(2)通项为Tr＋1＝Cr10x10－r3(－12)rx－r3＝Cr10(－12)rx10－2r3(r＝0,1，…，10)．令10－2r3＝2，得r＝2.∴所求的系数为C210·(－12)2＝454.(3)由题意，得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.二项式系数与系数的区别前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数Crn；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．3．已知二项式3x－23x10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．解析：3x－23x10的二项展开式的通项是Tk＋1＝Ck10(3x)10－k－23xk(k＝0,1，…，10)．(1)第4项的二项式系数为C310＝120.(2)第4项的系数为C31037－233＝－77760.转化思想在多项展开式中的应用[典例]求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．[解析]解法一(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，所以Tr＋1＝Cr8(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r来决定，T′k＋1＝Ckrxr－kx2k＝Ckrxr＋k，令r＋k＝5，解得r＝5，k＝0，或r＝4，k＝1，或r＝3，k＝2.所以展开式中x5的系数为C58·C05＋C48·C14＋C38·C23＝504.解法二(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C08(1＋x)8＋C18·(1＋x)7·x2＋C28(1＋x)6·(x2)2＋C38(1＋x)5·(x2)3＋…＋C78(1＋x)(x2)7＋C88(x2)8，则展开式中x5的系数为C08·C58＋C18·C37＋C28·C16＝504.解法三(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：(1)有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有C28·C16种；(2)有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有C18·C37种；(3)没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C58种．所以x5的系数是C28·C16＋C18·C37＋C58＝504.[感悟提高]对于三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．(1)x2＋1x2－23的展开式为________．(2)a＋1a2＋110展开式中的常数项为________．解析：(1)因为x2＋1x2－2＝x2－2＋1x2＝x－1x2，所以x2＋1x2－23＝x－1x6＝C06x6＋C16x5－1x＋C26x4－1x2＋C36x3－1x3＋C46x2－1x4＋C56x－1x5＋C66－1x6＝x6－6x4＋15x2－20＋15x2－6x4＋1x6.(2)因为a＋1a2＋110＝1＋a＋1a210，所以其通项为Cr10a＋1a2r(r＝0,1，…，10)，要求原式中的常数项，则应先求出a＋1a2r的展开式中的常数项．因为二项展开式的第k＋1项为Ckrar－k1a2k＝Ckrar－3k(k＝0,1,2，…，r)，由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍．又r∈N，且r≤10，所以r＝0,3,6,9，此时k＝0,1,2,3.当r＝0时，k＝0，系数为C010＝1；当r＝3时，k＝1，系数为C13C310＝360；当r＝6时，k＝2，系数为C26C610＝C26C410＝3150；当r＝9时，k＝3，系数为C39C910＝C39C110＝840.所以原式的展开式中对应常数项为1＋360＋3150＋840＝4351.答案：(1)x6－6x4＋15x2－20＋15x2－6x4＋1x6(2)4351