搜索
[自主梳理]一、应用排列与排列数公式求解实际问题中计数问题的基本步骤二、解排列问题的基本思路解简单的排列应用题首先必须认真分析理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．[双基自测]1．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有()A．4种B．6种C．8种D．12种解析：由题意先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把穿黄色衣服的2人安排在三个空中，所以共有A22·A23＝12(种)．D2．5人站成一排，甲、乙之间恰有一个人的站法有()A．18种B．24种C．36种D．48种解析：从剩余3人中选1人排在甲、乙之间有A13种方法，甲、乙全排列有A22种方法，故甲、乙和其中间一人构成一个整体有A13·A22种方法，则由甲、乙和其中间一人构成的整体与另外两人全排列有A33种方法．故不同站法共有A13·A22·A33＝36(种)．C3．有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科课代表，共有A57＝2520种不同的选法．2520探究一排列中的排数问题[例1]用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？[解析](1)分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．解决排列应用题常用的思考方法排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数？解析：(1)解法一从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288个六位奇数．解法二从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288个六位奇数．解法三(间接法)6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的排列数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3A44个，故对应的六位奇数的排列数为A66－3A55－3A44＝288.(2)解法一(间接法)0在十万位和5在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．解法二(直接法)(个位不排5时，按排0不排0分类计算)个位不排5，有A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个．第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个，形如41××偶数的有A12·A13个，形如43××偶数的只有4310和4302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．探究二排列中的排队问题[例2]有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须分别排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．[解析](1)先排甲有6种，其余有A88种．故共有6·A88＝241920种排法．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10080种排法．(3)捆绑法A22·A44·A55＝5760(种)．(4)插空法先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880种排法．(5)等机会法9人共有A99种排法，其中甲、乙、丙三人有A33种排法，因而在A99种排法中每A33种对应一种符合条件的排法，故共有A99A33＝60480种排法．(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．2．7人站成一排．(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？解析：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有A22种排法，故共有A66·A22＝1440种排法．(2)解法一(间接法)7人任意排列，有A77种排法，甲、乙两个相邻的排法有A22·A66种，故甲、乙不相邻的排法有A77－A22·A66＝3600(种)．解法二(插空法)将其余5人全排列，有A55种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A55·A26＝3600种排法．(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55·A33＝720种排法．(4)(插空法)将其余4人排好，有A44种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法．故共有A44·A35＝1440种排法．探究三排列的实际应用[例3]从7名运动员中选出4人参加4×100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数．(1)甲、乙二人都不跑中间两棒．(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．[解析](1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A25种方法，再从所有余下5人中安排首、末棒有A25种方法，故符合要求的方法共有A25·A25＝400(种)．(2)从7人中选4人安排到各接力区有A47种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的安排方法A25·A22种，即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A47－A25·A22＝800种方法．用排列的知识来解决实际问题时的注意点一是要注意弄明白实际问题的具体要求及实际意义；二是要注意多种排列技巧的综合应用．3．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？解析：解法一6节课总的排法是A66，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A55种排法，如图中I；数学排在最后一节有A55种排法，如图中Ⅱ.但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有A44种排法，因此符合条件的排法应是A66－2A55＋A44＝504(种)．解法二根据要求，课程表的安排可分为4种情况：(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有A24·A44种；(2)数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法A14·A44种；(3)体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法A14·A44种；(4)数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法A44种．这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：A24·A44＋A14·A44＋A14·A44＋A44＝504(种)．含定序元素或相同元素的排列[典例]7人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共有多少种不同的站法？[解析]解法一先不考虑甲、乙、丙的顺序，7人任意排列共有A77种站法．因为在上述排列中，每A33种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列的，所以符合要求的排法共有A77A33＝840(种)．解法二7人位置中，先将除甲、乙、丙外4人排列，共有A47种站法，然后将甲、乙、丙按规定顺序插入3个空位中，因此共有A47＝840种站法．[感悟提高]在有些排列问题中，某些元素的先后顺序是固定的(但不一定相邻)．解决这类某些元素顺序确定的问题的基本方法有两个：一是整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，将这m＋n个元素排成一列，共有Am＋nm＋n种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素变换顺序，共有Amm种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有Am＋nm＋nAmm种不同的排法；二是插入法，先在m＋n个位置上排n个元素，再把剩下的m个元素固定顺序插入到剩余m个位置中，有Anm＋n种不同的排法．已知7个元素中有4个相同的元素，把这7个元素排成一行，有多少种排法？解析：假设这7个元素各不相同，共有A77种排法，由于4个相同元素间的排法有A44种，而实际上是一种，所以共有A77A44＝7×6×5＝210(种)．