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第1页§3组合第一课时组合与组合数公式第2页1．组合的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示．第3页3．组合数公式①Cnm＝AnmAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！．②Cnm＝n！m！（n－m）！.4．组合数的性质①Cnm＝Cnn－m．②Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1．规定：Cn0＝1．第4页1．组合的概念(1)如果两个组合中的元素完全相同，不管它们是顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，“合成一组”即表示与顺序无关．第5页(2)若两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，则是不同的组合．例如从a、b、c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个，它们分别是ab、ac、bc.ba、ab是相同的组合，而ab、ac是不同的组合．(3)组合与排列问题的共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后都者要“按照一定顺序排成一列”．第6页2．区分排列问题、组合问题前者是从n个不同元素中选取m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从n个不同元素中选取m个不同的元素合成一组，所以区分某一问题是排列还是组合，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果都没有影响，则是组合问题．第7页3．组合数、组合数公式及组合数性质(1)组合数符号表示为Cnm，如从4个不同元素取出3个元素的组合数为C43；(2)“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，它是一个数；第8页(3)组合数公式是在m，n∈N*，且m≤n时成立；(4)当m、n数值较大时或含有字母的组合数式进行变形论证时，利用公式Cnm＝n！m！（n－m）！解题较方便；(5)Cn0＝1是一种规定，不能用组合数定义解释；(6)计算组合数时，特别是m较大时，注意利用公式Cnm＝Cnn－m转化．第9页课时学案第10页题型一组合的概念例1判断下列问题是不是组合问题？(1)从10人中选4人①参加座谈会；②分赴四地搞调查．(2)从1，2，3，4，5，6中任取两数①构成对数或指数；②相加或相乘．第11页(3)三个人互相①问好；②送礼品．(4)由正四面体4个顶点①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．【答案】(1)中①是②不是(2)中①不是②是(3)中都不是(4)中①不是②是第12页探究1对于概念题，绝不能含糊，要严扣定义，紧抓本质，有序排列，无序组合！第13页◎思考题1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？第14页(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？(5)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(6)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？第15页【解析】(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．排列数为A102＝90(种)．(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．组合数为C102＝45(种)．(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．组合数为C102＝45(种)．第16页(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．排列数为A102＝90(种)．(5)是组合问题．因为三个代表之间没有顺序的区别．组合数为C103＝120(种)．(6)是排列问题．因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．排列数为A103＝720(种)．第17页题型二组合数公式例2(1)求函数f(n)＝C3n38－n＋C21＋n3n的定义域；(2)解不等式：C10n－3C10n－2C10n－1.第18页【解析】(1)由题意知，原式中的自然数n必须满足不等式组3n≥38－n0，①21＋n≥3n0，②由①得384≤n38，由②得0n≤212.∴384≤n≤212，又n∈N*，∴n＝10.即f(n)定义域为{10}．第19页(2)由题设不等式，得10！（n－3）！（13－n）！10！（n－2）！（12－n）！10！（n－1）！（11－n）！.化简得n－213－n且n－112－n，解得n132.又由题设知3≤n≤11，∴n＝3，4，5，6.∴原不等式的解集为{3，4，5，6}．第20页探究2(1)在涉及Cnm时，要充分运用(或要时刻注意)m≤n且m，n∈N*来解题．(2)计算Cnm时常用公式Cnm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！.证明与Cnm有关的问题时常用公式Cnm＝n！m！（n－m）！.第21页◎思考题2(1)计算C103；(2)证明Cnm＝nn－mCn－1m；(3)已知1C5n－1C6n＝710C7n，求C8n的值．第22页【解析】(1)C103＝10×9×83×2×1＝120.(2)∵nn－mCn－1m＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！＝Cnm，∴Cnm＝nn－mCn－1m.(3)由组合数公式，可得n！（5－n）！5！－n！（6－n）！6！＝710·n！（7－n）！7！，化简得n2－23n＋42＝0.∴n＝21或n＝2.∵n≤5，∴n＝2.∴C8n＝C82＝28.第23页题型三组合数的性质1的应用例3(1)解方程组Cxy＝Cx2y，3Cxy＋1＝11Cxy－1.(2)解不等式2Cx＋1x－23Cx＋12.第24页【思路】解答(1)小题的突破口在“Cxy＝Cx2y”，因为符号两边只有下标同为x的两个组合数，由组合数的定义和组合数的性质1，得y＝2y或y＝x－2y.解答(2)小题的突破口是利用组合数的性质1，得Cx＋1x－2＝Cx＋13.第25页【解析】(1)∵Cxy＝Cx2y，∴y＝2y或y＝x－2y.若y＝2y，则y＝0，y－10，不合题意，舍去．∴y＝x－2y，即x＝3y，代入3Cxy＋1＝11Cxy－1，得3C3yy＋1＝11C3yy－1，即3·（3y）！（y＋1）！（2y－1）！＝11·（3y）！（y－1）！（2y＋1）！，化简得y2－5y＝0.∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.∴方程组的解为x＝15，y＝5.第26页(2)∵2Cx＋1x－23Cx＋12，∴2Cx＋133Cx＋12，即2×（x＋1）x（x－1）1×2×33×（x＋1）x1×2.①∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x0.①式两边同除以(x＋1)x，得x－192，∴x112.∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．第27页◎思考题3(1)C97＋C98＝________；(2)C3nn＋21＋Cn＋213n－2＝________．【答案】(1)45(2)65第28页(3)已知x，y∈N*，且Cnx＝Cny，则x，y的关系是()A．x＝yB．y＝n－xC．x＝y或x＋y＝nD．x≥y【解析】当x＝y时显然成立；因为Cnx＝Cnn－x，故有n－x＝y，得x＋y＝n.【答案】C第29页题型四组合数的性质2的应用例4(1)求和：C22＋C32＋C42＋…＋C1002.(2)证明：Cn0＋Cn＋11＋Cn＋22＋…＋Cn＋m－1m－1＝Cn＋mm－1.第30页【解析】(1)方法一原式＝C33＋(C43－C33)＋(C53－C43)＋…＋(C1013－C1003)＝C1013＝166650.方法二原式＝C30＋C31＋C42＋C53＋…＋C10098＝C41＋C42＋C53＋…＋C10098＝C52＋C53＋…＋C10098＝…＝C10198＝C1013＝166650.第31页方法三原式＝C33＋C32＋C42＋C52＋…＋C1002＝C43＋C42＋C52＋…＋C1002＝C53＋C52＋…＋C1002＝…＝C1013＝166650.第32页(2)左式＝Cn＋10＋Cn＋11＋Cn＋22＋…＋Cn＋m－1m－1＝Cn＋21＋Cn＋22＋…＋Cn＋m－1m－1＝…＝Cn＋m－1m－2＋Cn＋m－1m－1＝Cn＋mm－1＝右式．第33页探究3(1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm；(2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn；(3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．第34页◎思考题4(1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65；②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105；(2)计算C201198＋C200196＋C200197.【答案】(1)①21②462(2)原式＝C201198＋C201197＝C202198＝C2024＝67331650.第35页课后巩固第36页1．下面几个问题是组合问题的有()①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？第37页④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④答案C解析①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组合问题，故选C项．第38页2．2C10071006的值为()A．1006B．1007C．2012D．2014答案D解析利用组合数的性质得2C10071006＝2C10071＝2014.第39页3．若An3＝6Cn4，则n的值是()A．6B．7C．8D．9第40页答案B解析原方程可化为：n(n－1)(n－2)＝6·n（n－1）（n－2）（n－3）4×3×2×1，解得n＝7，经检验，n＝7是原方程的解．第41页4．若C20x＝C202x－7，则x＝________．答案7或9解析因为C20x＝C202x－7，所以x＝2x－7或x＋2x－7＝20.所以x＝7或x＝9，经检验，x＝7或x＝9是原方程的解．第42页5．若Cn＋22＝14An＋13，求n.解析由Cn＋22＝14An＋13，得（n＋2）！（n＋2－2）！2！＝14·（n＋1）！（n＋1－3）！，即n＋2n（n－1）＝12，解得n＝－1(舍)或n＝4.故n＝4.第43页