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第1页§2排列第一课时排列的概念及简单排列问题第2页1．排列一般地，从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．第3页2．排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号Anm表示．即：Anm＝n·(n－1)·…·(n－m＋1)．n个不同元素全部取出的排列数Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1叫做n个不同元素的全排列数公式，也称作n的阶乘，用n！表示，另外规定0！＝1．排列数公式可用阶乘表示为Anm＝n！（n－m）！．第4页3．应用北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备________种不同的飞机票？试将它们一一列举出来：________．答案6北京→上海北京→香港上海→北京上海→香港香港→北京香港→上海第5页1．对排列定义的四点说明(1)定义的两个要素：一是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”，要求取出的元素不能重复；二是“按照一定的顺序排列”．(2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，选取的元素相同但顺序不同是不同的排列，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件决定．第6页(3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是相同排列．(4)在定义中规定m≤n，如果mn，这样的排列只是取一部分元素进行排列，称选排列；如果m＝n，这样的排列是取出所有元素进行排列，称全排列．第7页2．排列数公式的特征①m个连续自然数之积；②最大数是n，最小的是(n－m＋1)．第8页课时学案第9页题型一排列概念例1判断下列问题是否是排列问题：(1)从2，3，5，7，11中任取两数相乘可得多少个不同的积？(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的商？(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？第10页【解析】(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问题．(2)上、下互换结果不一样，与顺序有关，是排列问题．(3)请同学们记住“正”的就是“正”的，正副不同，是排列问题．(4)“门”不同，先后也不一样，是排列问题．第11页探究1排列的核心是“顺序”，有“顺序”就是排列问题．那么如何判断是否有顺序呢？最常用的办法是把得到的结果变换元素的位置，如果结果变了，就是有“顺序”，若结果不变，就是无“顺序”．第12页◎思考题1判断下列问题是否是排列问题：①从2，3，5，7，9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？②空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？第13页③某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？④若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？【答案】①是②不是③是④不是第14页题型二简单的排列问题例2(1)由1，2，3这三个数字组成的三位数分别是________．(2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来．第15页【思路】(1)利用什么可将题1中的三位数不重不漏地列出来？利用树形图．(2)用什么计数原理计算题2中的坐法种数？用什么将所有坐法列出来？利用分步乘法计数原理计算坐法种数．利用树形图将所有坐法列出来．第16页【解析】(1)用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123，132，213，231，312，321，共6个．第17页(2)先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种)．画出树形图．第18页由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.【答案】(1)123，132，213，231，312，321第19页探究2(1)“树形图”及其用法：①树形图简称树图，就是把同一元素为首的若干排列按照一定的顺序一一列举出来，从而画出像树枝一样的图形．②树形图能很好地表达排列中各元素的先后顺序，利用树形图能具体地列出各种情况，可避免排列的重复或遗漏．③树形图是处理排列问题的主要方法，树形图可以直观地表示元素间的关系，但它只适用于排列个数较少时的情形．第20页(2)利用“树形图”写(列)出简单排列问题所有排列的步骤：①确定分类的标准．②按要求写出每类中的首个元素．③依次进行罗列．第21页◎思考题2从1，2，3，4，5这5个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，共可以得到多少个不同的三位数？试用树形图写出所得到的所有三位数．第22页【解析】组成一个三位数分三个步骤，第一步选百位上的数字有5种不同的选法；第二步选十位上的数字有4种不同的选法；第三步选个位上的数字，有3种不同的选法．所以共可以得到的三位数的个数为5×4×3＝60个．第23页画出下列树形图：第24页由上面的树形图知所有的三位数为：123，124，125，132，134，135，142，143，145，152，153，154，213，214，215，231，234，235，241，243，245，251，253，254，312，314，315，321，324，325，341，342，345，351，352，354，412，413，415，421，423，425，431，432，435，451，452，453，512，513，514，521，523，524，531，532，534，541，542，543.第25页题型三排列数公式例3(1)计算：2A85＋7A84A88－A95；(2)解方程：3Ax3＝2Ax＋12＋6Ax2.第26页【思路】(1)主要用排列数公式转化为连乘积再化简计算；(2)解决本题的关键是利用排列数公式转化为关于x的代数方程来解．注意Anm中m，n∈N*，且m≤n这些限制条件，及转化为方程(或不等式)中未知数的取值范围．第27页【解析】(1)2A85＋7A84A88－A95＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.第28页(2)由3Ax3＝2Ax＋12＋6Ax2，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)．∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)．即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或x＝23(舍去)．∴x＝5.第29页探究3上述类型题的处理方法是利用排列数公式Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或Anm＝n！（n－m）！，消掉式子中的Anm，转化为关于n的代数方程再求解．第30页◎思考题3(1)解方程3A8x＝4A9x－1；(2)已知An7－An5An5＝89，求n的值．第31页【解析】(1)由3A8x＝4A9x－1，得3×8！（8－x）！＝4×9！（10－x）！.化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.(2)∵An7－An5An5＝[（n－5）（n－6）－1]An5An5＝89，∴(n－5)(n－6)＝90，∴n＝15或n＝－4(舍)．第32页题型四证明排列数恒等式例4(1)求证：An＋1m＝Anm＋mAnm－1(m≤n)；(2)求证：1（n＋1）！＝1n(1n！－1（n＋1）！)．第33页【证明】(1)证法一：Anm＋mAnm－1＝n(n－1)…(n－m＋1)＋m·n(n－1)…(n－m＋2)＝n(n－1)…(n－m＋2)[(n－m＋1)＋m]＝(n＋1)n(n－1)…(n－m＋2)＝An＋1m.证法二：Anm＋mAnm－1＝n！（n－m）！＋m·n！（n－m＋1）！＝n！[（n－m＋1）＋m]（n－m＋1）！＝（n＋1）！[（n＋1）－m]！＝An＋1m.第34页证法三：(构造法)设从n＋1个不同元素a1，a2，…，an＋1中取出m个不同元素的排列数为An＋1m，则其可分为两类，一类是不含a1的排列共有Anm，另一类是含a1的排列，先排列a1的位置有m种，再从剩余的n个元素中选出m－1个元素排在剩余的m－1个位置有Anm－1种，此类共有mAnm－1种，由分类计数原理可知等式An＋1m＝Anm＋mAnm－1成立．(2)右边＝1n[1n！－1（n＋1）！]＝1n·（n＋1）－1（n＋1）！＝1（n＋1）！＝左边，所以原等式成立．第35页探究4排列数的化简与证明技巧：应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时要灵活地运用如下变式：①n！＝n(n－1)！；②Anm＝nAn－1m－1；③n·n！＝(n＋1)！－n！；④n－1n！＝1（n－1）！－1n！.第36页◎思考题4(1)求证：1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.(2)求证：Amn＝Amk·Am－kn－k(k≤n≤m)．第37页【解析】(1)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.(2)Amk·Am－kn－k＝m！（m－k）！·（m－k）！[（m－k）－（n－k）]！＝m！（m－n）！＝Amn.故Amn＝Amk·Am－kn－k.第38页课后巩固第39页1．乘积5×6×7×…×20等于()A．A2017B．A2016C．A2015D．A2014答案B解析根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为A2016.第40页2．设m∈N*，且m15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．A15－m6B．A20－m15－mC．A20－m6D．A20－m5答案C第41页3．若x＝n！3！，则x＝()A．An3B．Ann－3C．A3nD．An－33答案B解析因为Ann－3＝n(n－1)…[n－(n－3)＋1]＝n(n－1)(n－2)…×4＝n！3！，所以x＝Ann－3.第42页4．计算：A103＝________，6！＝________．答案720720解析A103＝10×9×8＝720；6！＝6×5×4×3×2×1＝720.第43页5．求证：An－1m－1·An－mn－mAn－1n－1＝1.证明左边＝An－1m－1·An－mn－mAn－1n－1＝（n－1）！[（n－1）－（m－1）]！·(n－m)！·1（n－1）！＝（n－1）！（n－m）！·(n－m)！·1（n－1）！＝1＝右边．故原式成立．第44页