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第1页第一章计数原理第2页§1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理第3页1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．第4页2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．3．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．第5页4．分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．第6页1．应用分类加法计数原理应注意的问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．第7页(3)确定恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”．第8页2．应用分步乘法计数原理要注意的问题(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说是否必须要经过几步才能完成这件事．(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间不能重复，也不能遗漏．第9页3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别(1)联系：都是涉及做一件事的不同方法的种数问题．(2)区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．第10页课时学案第11页题型一两个计数原理的概念例1某专家要从北京去衡水中学参加一年一度的高考研讨会．(1)已知一天内从北京到衡水乘飞机有3班，乘火车有5班，乘汽车有6班，那么，该专家在一天内从北京到衡水共有多少种不同的走法？第12页(2)若该专家从北京出发经过天津、保定再到达衡水，已知北京到天津有3条道可走，天津到保定有4条道可走，保定到衡水有2条道可走，那么该专家从北京到衡水共有多少种不同的走法？第13页【解析】(1)本题中要做的事是“从北京到衡水”乘飞机、火车、汽车这三类办法均可以完成这件事，故由加法原理知，共有3＋5＋6＝14种不同的走法．(2)本题要做的事是“从北京经天津、保定到衡水”，完成这件事必须分成三步：北京―→天津―→保定―→衡水，故由乘法原理知共有3×4×2＝24种不同的走法．第14页探究1本部分所研究的问题有一个共同的模式，即都是“要做一件事”“完成它有多少种不同的选法？”，解此类题首先要审清是要做一件什么事？如何才能完成它？从而确定是用加法原理还是乘法原理．第15页◎思考题1(1)设x，y∈N*，且x＋y≤4，则在直角坐标系中满足条件的点M(x，y)共有()A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D第16页(2)王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问：从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？【思路】从两个口袋任取一张卡片，符合分类加法计数原理的条件．根据分类加法计数原理计算取法．第17页【解析】从口袋中任取一张英语单词卡片的方法有两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．上述任何一种取法都能独立完成“取一张英语单词卡片”这件事，应用分类加法计数原理，可得从两个口袋里任取一张英语单词卡片有30＋20＝50种不同的取法．第18页题型二分类加法计数原理的应用例2在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？第19页【解析】分析个位数字，可分以下几类．个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；第20页个位是6的有5个；……个位是2的只有1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝1＋82×8＝36个．第21页探究2应用分类加法计数原理时，关键要进行合理的分类，分类的标准是“不重不漏”．第22页◎思考题2(1)本例中若将条件改为“个位数字比十位数字小”结果如何？【解析】按十位数字分别取1，2，…，9，可得1＋2＋…＋9＝45(个)．第23页(2)若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．【解析】按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；…x＝5，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．第24页【点评】首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1，2)与(2，1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．第25页题型三分步乘法计数原理的应用例3(1)某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，发送的方法的种数为()A．8种B．15种C．243种D．125种第26页【解析】每封电子邮件都有3种不同的发送方法，根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)．【答案】C第27页(2)火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？【解析】以“乘客”来考虑：10名乘客下车可看作10步，每人下车有5种方式，10名乘客不同的下车方式有510种．第28页探究3使用分步乘法计数原理解题时，要正确设计分步的各个步骤，包括共分几步，每步的具体内容，各步的方法数等．要注意各步齐全才能完成这件事，切忌缺步．第29页◎思考题3已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？【解析】圆的方程由三个量a、b、r确定，a、b、r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理得，可表示不同的圆的个数为3×4×2＝24种．第30页题型四计数原理的综合应用例4现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？第31页【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．第32页(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．第33页探究4解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．第34页◎思考题4现有高一年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一人为组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人为中心发言人，且这两人必须来自不同的班组，有多少种不同的选法？第35页【解析】(1)分四类：第一类，从一班选一人，有7种选法；第二类，从二班选一人，有8种选法；第三类，从三班选一人，有9种选法；第四类，从四班选一人，有10种选法．所以共有不同的选法为N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．第36页(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班各选一人任组长，分别有7、8、9、10种不同的选法．所以共有不同的选法为N＝7×8×9×10＝5040(种)．第37页(3)分六类，每类都分两步：①从一、二班各选一人，共有7×8＝56(种)；②从一、三班各选一人，共有7×9＝63(种)；③从一、四班各选一人，共有7×10＝70(种)；④从二、三班各选一人，共有8×9＝72(种)；⑤从二、四班各选一人，共有8×10＝80(种)；⑥从三、四班各选一人，共有9×10＝90(种)．所以共有不同的选法为N＝56＋63＋70＋72＋80＋90＝431(种)．第38页课后巩固第39页1．从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有()A．2种B．3种C．5种D．6种第40页答案C解析从甲地到乙地有2类办法(坐飞机和坐火车)，坐飞机有3种方法(三次航班)，坐火车有2种方法(两趟火车)，所以结合分类加法计数原理，从甲地赶往乙地的方法有5种．第41页2．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有()A．3种B．6种C．8种D．9种答案C解析由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．第42页3．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A．34B．43C．12D．16第43页答案C解析确定A*B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步确定y，共有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有3×4＝12种不同的方法，故选C.第44页4．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种第45页答案B解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．第46页5．如图所示，从A→B→C，有________种不同的走法．从A→C，有________种不同的走法．答案46第47页